I gemellini di Archimede

[EvaristeG]

Continuando con la prole di illustri matematici, ecco i gemelli di Archimede.

Consideriamo l'arbelo, ovvero tre punti A,C,B allineati in quest'ordine e tre semicirconferenze di diametri AB, AC, BC tutte nello stesso semipiano; sia ora H sulla semicirconferenza di diametro AB tale che CH sia perpendicolare ad AB.

Disegnamo due circonferenze, la prima tangente a CH, alla semicirconferenza di diametro AB e a quella di diametro AC, la seconda tangente a CH, alla semicirconferenza di diametro AB e a quella di diametro BC.

Dimostrare che queste due circonferenze sono uguali.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

chiamiamo $ a $ il raggio della crf di diametro AC, $ b $ il raggio della crf di diametro CB, $ c $ il raggio della crf tangente a sinistra e $ d $ di quella a destra.
troviamo la distanza del centro della crf tangente a sinistra con AB con il teorema di pitagora in due modi diversi e ottieniamo

$ (a+b-c)^2 - (a-b-c)^2 = (a+c)^2 - (a-c)^2 $

da cui sviluppando si ottiene

$ \displaystyle c = \frac{ab}{a+b} $

invertendo a e b si trova d, con il procedimento simmetrico, quindi

$ \displaystyle d = c = \frac{ab}{a+b} $