OliForum Matematico

Per i più esperti potrebbe sembrare una stupida ma la metto lostesso...
Detreminare il valore di $ \alpha $

$ \displaystyle \alpha = \sum_{n=1}^\infty \arctan {\frac{1}{n^2 + n +1}} $

Solo una piccola richiesta:
Gabriel, la smetteresti di far girare le ball...
Ehm, ok, rifaccio.
Gabriel, la smetteresti di far girare gli icosaedri?
Per favore...

va bene, ammetto che quello grosso in basso può dare noia, lo elimino subito

detto $ \displaystyle a_k=\sum_{n=1}^k\arctan \left \frac{1}{n^2+n+1} \right $, dimostriamo che $ a_k= \frac{\pi}{4}-\arctan \frac{1}{k+1}. $
Per k=1 è vero, e si vede che
$ \arctan \frac{1}{k^2+k+1}-\arctan \frac{1}{k}= -\arctan \frac{1}{k+1} $

Quest'ultima roba si ha dalla fomula di somma delle tangenti.

Grazie Gabriel, l'avatar tutto sommato non dà fastidio, quindi va bene così.

Io ho fatto così:

da $ tan{(\alpha + \beta)} $
ricavo che
$ \displaystyle \arctan{x} - \arctan{y}=\arctan{\frac{x - y}{1 + xy}} $

quindi si ha che

$ \displaystyle a_k=\sum_{n=1}^\infty \arctan \left \frac{(n+1)-n}{1 + n(n+1)} \right =\sum_{n=1}^\infty (\arctan{(n+1)}-\arctan{n}) $

la somma diventa telescopica, si annullano tutti i termini di mezzo e rimane

$ \displaystyle a_k = arctan \infty - \arctan 1 = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4} $