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mi aiutate a fare quest'esercizio?:
siano n e k numeri naturali.
trovare per quante coppie di n,k vale:
(5^n+3^n)/[5^(n-1)+3^(n-1)]=k

io, probabilmente errando, farei:
riscrivo l`equazione come $ 5^{n-1}(5-k)+3^{n-1}(3-k)=0 $ se $ 0<k<4 $ non ha soluzioni poiche' somma di termini positivi, se $ k=4 n=1 $ soluzione, se $ k>4 $ non ha soluzioni perche` somma di termini negativi

questo problema toccava a me... quindi una soluzione stupida la posto anch'io

$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{5^{n-1} + 3^{n-1}} = k $

$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{\frac{5^n}{5} + \frac{3^n}{3}} = k $

$ \displaystyle\frac{(15)5^n + (15)3^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k $

$ \displaystyle\frac{(9)5^n + (15)3^n + (6)5^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k $

$ \displaystyle\frac{(6)5^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k - 3 $


$ (3)5^n = x $ $ (5)3^n = y $ $ k - 3 = z $


$ \displaystyle\frac{2x}{x + y} = z $

$ \displaystyle x = \frac{zy}{2 - z} $

Poichè sia n che k devono essere interi positivi e diversi da zero, l'unico valore che può assumere z è 1, quindi $ k = 4 $

$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{5^{n-1} + 3^{n-1}} = 4 $

$ 5^n + 3^n - (4)5^{n-1} - (4)3^{n-1} = 0 $

$ \displaystyle\frac{1}{5}5^n - \frac{1}{3}3^n = 0 $

$ \displaystyle\frac{5^n}{3^n} = \frac{5}{3} $

$ n = 1 $

L'unica coppia possibile è quindi $ n = 4 $ $ k = 1 $

Spero di non aver sbagliato niente o ci faccio una brutta figura

EDIT: Ho notato che il post è leggermente incasinato...spero si capisca lo stesso...

Sì, il tuo risultato è giusto, Sherlock
(nell'ultima parte hai solo invertito le
variabili rispetto ai valori).

Si potrebbe anche procedere così.

Innanzitutto, scopriamo che:

$ \displaystyle 5>\frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3 $.

ciò che equivale a dire che $ 5>3 $.

L'unico caso possibile, quindi, sarebbe:

$ \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}} = 4 $

da cui ricaviamo subito:

$ 5^{n-1}=3^{n-1} $

che è vera solo per $ n=1 $.

ehm...non dovresti dimostrarlo il primo passaggio?

Il primo passaggio, Sherlock, si verifica
abbastanza velocemente. Infatti, basta
che moltiplichi per il denominatore della
frazione i tre membri di quella limitazione
per vedere che arrivi comunque a 5>3

è esatto, però era l'intuizione della tua dimostrazione credevo che almeno un accenno andasse fatto eheh, Bye

ehm...
ovvero?
qualcuno lo potrebbe esplicitare?

Il fatto che:

$ 5 > \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}} $

è vero poiché:

$ 5\cdot (5^{n-1}+3^{n-1}) > 5^n+3^n $

cioè:

$ 5^n+5\cdot 3^{n-1} > 5^n+3\cdot 3^{n-1} $

quindi:

$ 5 > 3 $.

Per l'altra parte della limitazione, invece,
abbiamo successivamente:

$ \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3 $

$ 5^n+3^n > 3\cdot (5^{n-1}+3^{n-1}) $

$ 5^n+3^n > 3\cdot 5^{n-1}+3^n $

$ 5\cdot 5^{n-1} > 3\cdot 5^{n-1} $

e quindi, di nuovo:

$ 5>3 $.

Va meglio ora?

grazie!
sono un po' lenta... erano passaggi semplicissimi...