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Trovare (ammesso che esista) un insieme di 2007 interi positivi distinti e a due a due coprimi tali che la AM e la GM degli elementi di ogni suo sottoinsieme siano intere.
assegnato, se Gobbino non erra, a un vecchio pre-imo
sembra difficile ma non lo è, ve lo assicuro

AM e GM stanno per media aritmetica e media geometrica?

albert_K ha scritto:AM e GM stanno per media aritmetica e media geometrica?

sì, non ho specificato credendo che fosse ovvio sorry

Fatto molto alla svelta, spero torni...

Sia $ \alpha=\mbox{lcm}(1,2,3,\dots,2007) $ ora siano $ {p_i} $ in numeri primi ordinati in modo crescente e $ p_k $ il più grande primo minore di $ 2007 $

Prendiamo l'insieme

$ p_{k+1}^{\alpha},p_{k+2}^{\alpha},\dots,p_{k+2006}^{\alpha},p_{k+2007}^{\alpha} $

Per Eulero-Fermat (sicuramente nell'lcm ci sarà un fattore phi(p^k) essendo la phi sempre minore dell'intero a lei associato) tutti questi numeri sono congrui a 1 modulo tutte le potenze di primi minori di 2008, quindi modulo tutti gli interi minori di 2007 (per TCR). Quindi l'ipotesi sulle AM è soddisfatta.

E' altresì chiaro che $ $ \frac{\alpha}{i} $ è intero per ogni $ i $ minore di $ 2008 $, quindi è soddisfatta anche l'ipotesi sulle GM.

Sembra che funzioni (anche se è quella che gobbino definirebbe soluzione stratirchia), quindi rilancio:

esiste un insieme di infiniti interi positivi che soddisfano le condizioni richieste?

salva90 ha scritto:Sembra che funzioni (anche se è quella che gobbino definirebbe soluzione stratirchia), quindi rilancio:

esiste un insieme di infiniti interi positivi che soddisfano le condizioni richieste?

non si direbbe...

Chiamiamo $ F $ questo ipotetico insieme.

sia f(n) (per ogni n intero maggiore di 1) il massimo valore di k intero positivo per cui $ \sqrt[k]{n}\in\mathbb{N} $

Prendiamo un qualsiasi $ a\in F $ diverso da 1.

Ora scegliamo un sottoinsieme $ A\subset F $ tale che:

$ a\in A $

$ |A|=f(a)+1 $

Essendo gli elementi di F primi tra loro, la media geometrica degli elementi A e' alquanto irrazionale, dunque poco intera...

e ora una piccola curiosita': cosa si intende (o cosa intende gobbino, sebbene non glielo abbia mai sentito dire o visto scrivere) con soluzione stratirchia?


(piccola aggiunta: se sostituisci "infinito" con "arbitrariamente grande" la soluzione di Boll resta valida, basta sostituire 2007 con il numero cercato, ma mi pareva piutosto ovvia come cosa....)

piever ha scritto: e ora una piccola curiosita': cosa si intende (o cosa intende gobbino, sebbene non glielo abbia mai sentito dire o visto scrivere) con soluzione stratirchia?

intende dire che abbiamo preso il lcm, quando si poteva benissimo procedere con 2007! senza incasinarsi la vita

comunque la soluzione va bene, anche l'osservazione finale