OliForum Matematico

Siano p e q numeri naturali tali che $ \displaystyle \frac p q =\sum_{i=1}^{1319}(-1)^{i+1}\frac1i $ .
Dimostrare che $ 1979| p $

Hmm, basta fare i calcoli . E' una dimostrazione anche quella.

Reese ha scritto:Hmm, basta fare i calcoli . E' una dimostrazione anche quella.

non credo che risulti così semplice...

salva90 ha scritto:

Reese ha scritto:Hmm, basta fare i calcoli . E' una dimostrazione anche quella.

non credo che risulti così semplice...

Con una semplice routine in C++, per esempio, basta calcolare la somma e trovarne la rappresentazione razionale. Più facile di quello che pensi.
Comunque, l'ho detto, così magari precisavi che non è consentita la forza bruta.

Reese ha scritto:Comunque, l'ho detto, così magari precisavi che non è consentita la forza bruta.

ok, non è consentita la forza bruta

Ci hai provato veramente? Senza una libreria apposita per lavorare con interi immensi, ridurre tutto a denominatore comune è impraticabile.

fph ha scritto:Ci hai provato veramente? Senza una libreria apposita per lavorare con interi immensi, ridurre tutto a denominatore comune è impraticabile.

si, in effetti lo credo anche io

Reese ha scritto:così magari precisavi che non è consentita la forza bruta.

Qui però ti vai ad infognare tu, perché ora devi definire "forza bruta", che è più difficile di quanto probabilmente, anzi sicuramente immagini.
Ok ok, basta OT.

Carino questo problema...

Rinforziamo un po' la tesi (l'inverso modulare non credo di doverlo definire, credo ci sia in giro, nel caso chiedete)

Se $ p $ è un primo dispari tale che $ p=6k-1 $ per un qualche intero positivo $ k $, allora si avrà che:

$ $ S= \sum_{i=1}^{4k-1}(-1)^{i+1}\frac{1}{i}\equiv 0 \pmod p $

Per dimostrarlo innanzitutto riscriviamo $ S $

$ $ S= \sum_{i=1}^{4k-1}(-1)^{i+1}\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^{4k-1}\frac{1}{i}-2\sum_{i=1}^{2k-1}\frac{1}{2i} $$ $ =\sum_{i=1}^{4k-1}\frac{1}{i}-\sum_{i=1}^{2k-1}\frac{1}{i}=\sum_{i=2k}^{4k-1}\frac{1}{i} $

Ora $ 2k+m\equiv -(4k-1-m)\pmod {6k-1} $
facendo variare $ m $ fra $ 0 $ e $ 2k-1 $ otterremo

$ $ S=\sum_{i=2k}^{4k-1}\frac{1}{i}\equiv \sum_{i=2k}^{4k-1}\frac{1}{(-i)}\pmod p $
quindi $ S\equiv -S\pmod p $ da cui concludiamo

$ 2S\equiv 0\pmod p $ che essendo $ p $ dispari equivale alla nostra tesi []

So che la notazione è veramente pesante, ma se vi scrivete su un foglio le sommatorie esplicitate dovrebbe tornarvi tutto abbastanza semplice... Cmq se qualcosa non fosse chiaro non esitate a chiedere.

Ah... Inserendo $ k=330 $ abbiamo la nostra tesi

MindFlyer ha scritto:

Reese ha scritto:così magari precisavi che non è consentita la forza bruta.

Qui però ti vai ad infognare tu, perché ora devi definire "forza bruta", che è più difficile di quanto probabilmente, anzi sicuramente immagini.
Ok ok, basta OT.

Giusto per rispondere: basta Derive.