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Si determini il più piccolo intero positivo n tale che $ \displaystyle 2^{1989}|m^n-1 $ per ogni intero dispari $ m\ge3 $

C'è anche la formula per questo... $ n=2^{1989-2} $, esempio che quello è il minimo è 3.
Comunque... chiaramente non può essere $ 2^{1988} $ altrimenti esisterebbe un generatore modulo $ 2^{1989} $, il che non è.
E per vedere che 3 ha quell'ordine lì basta un'induzione su n...
Infatti $ 3^{2^{3-2}} \equiv 1 \pmod {2^3} $ ed in particolare $ 3^2 = 1*8+1 $.
Se ora abbiamo che $ 3^{2^{n-2}}=d*2^n+1 $ dove d indica un dispari, allora da n a n+1 succede che $ 3^{2^{n-1}}=2^m*d+1 \not \equiv 1 \pmod {2^{n+1}} $ per cui l'ordine non può essere altro che $ 2^{n+1-2} $. E infine, per vedere che anche $ 3^{2^{n+1-2}}=d*2^{n+1}+1 $ basta notare che $ 3^{2^{n+1-2}}=(3^{2^{n-2}})^2= $$ (d*2^n+1)^2=d^2*2^{2n}+d*2^{n+1}+1= $$ 1+2^{n+1}(d+2^{n-1})=d*2^{n+1}+1 $

(carino, comunque!)

Ciao!!

salva90 ha scritto:Si determini il più piccolo intero positivo n tale che $ \displaystyle 2^{1989}|m^n-1 $ per ogni intero dispari $ m\ge3 $

E' un fatto noto che $ \displaystyle v_2(a^k-1) = \frac{1 + (-1)^{k \bmod 2}}{2}\cdot (1 + v_2(k)) + v_2(a-1) $, per ogni $ k \in \mathbb{N}^+ $ ed ogni $ a \in \mathbb{Z} $, dove $ v_2(\cdot) $ è una valutazione. Dunque si tratta di determinare il più piccolo $ n \in \mathbb{N}^+ $ t.c. $ 1988 \le v_2(n) + v_2(m-1) $, per ogni intero dispari $ m\ge 3 $. Senonché $ v_2(m-1) \ge 1 $, l'uguaglianza essendo soddisfatta sse $ m \equiv 3 \bmod 4 $. Perciò, si è riportati a calcolare il minimo intero $ n \ge 1 $ tale che $ v_2(n) \ge 1987 $. Indovinereste mai qual è?

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Dio ha inventato i numeri interi. Tutto il resto è opera dell'uomo. ~ Leopold Kronecker

Una sera, di presso al tramonto, un'anziana signora, incontrata per Caso sui binari di una vecchia stazione in disuso, mi domandò se sapessi dove finisce il Cielo. Sconfitto, felice - risposi non so. Oggi ancora ricordo le sue ultime parole, un attimo prima di partire, quando - con tutta la tenerezza ingenua di una vita - mi rivelò, come a susurrarmi un segreto, che il Cielo finisce nel cuore di Dio. ~ S