Disuguaglianze interessanti...

[Simo_the_wolf]

1) $ \displaystyle \frac{a+3}{(a+1)^2} +\frac{b+3}{(b+1)^2}+ \frac{c+3}{(c+1)^2} \geq 3 $ con $ abc \leq 1 $

2) $ \displaystyle \frac 2{(1+a)^4}+\frac 2{(1+b)^4}+\frac 2{(1+c)^4}+\frac 2{(1+d)^4} \geq \frac 1{1+abcd} $


Ovviamente tutti reali positivi...

EDIT: oooops

[MindFlyer]

Ehm, forse la prima ha bisogno di un ritocchino...

[pi_greco_quadro]

ok allora adesso per farmi perdonare posto anche tutti i conti per bene

Dunque prima di tutto stabiliamo il seguente lemma che si rivelerà moooolto utile nella dimostrazione

Siano x,y reali positivi, allora vale
$ \displaystyle \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy} $

Sviluppando e semplificando otteniamo infatti che la condizione è equivalente a $ \displaystyle 1-2xy+x^3y+xy^3-x^2y^2\geq 0 $, d'altra parte $ \displaystyle LHS\geq 1-2xy+2x^2y^2-x^2y^2=(1-xy)^2\geq 0 $, con uguaglianza sse $ \displaystyle xy=1 $

Ok, siamo pronti per la dimostrazione vera e propria. (Ogni simbolo di sommatoria sottintende una somma ciclica)

Riscriviamo il tutto in primo luogo come $ \displaystyle (1+abcd)\left(\sum\frac{1}{(1+a)^4} \right)\geq \frac{1}{2} $

Ora, per Cauchy e per il lemma iniziale vale la seguente

$ \displaystyle \left(\frac{1}{(1+a)^4}+\frac{1}{(1+b)^4}\right)(1+1)\geq \left(\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\right)^2\geq $ $ \displaystyle \frac{1}{(1+ab)^2} $

Ovvero

$ \displaystyle \left(\sum\frac{1}{(1+a)^4} \right)\geq \frac{1}{2}\cdot\left( \frac{1}{(1+ab)^2}+\frac{1}{(1+cd)^2}\right) $

A questo punto possiamo concludere usando un'ultima volta il lemma iniziale, infatti

$ \displaystyle (1+abcd)\left(\sum\frac{1}{(1+a)^4} \right) $ $ \displaystyle \geq\frac{1}{2}(1+abcd)\cdot\left( \frac{1}{(1+ab)^2}+\frac{1}{(1+cd)^2}\right)\geq $ $ \displaystyle \frac{1}{2}(1+abcd)\cdot\left(\frac{1}{(1+abcd)}\right)=\frac{1}{2} $

Ah, dimenticavo quando vale il caso di uguaglianza, beh per le condizioni poste sul lemma dovremmo avere necessariamente $ \displaystyle a=b=c=d=1 $

[Leblanc]

allora, innanzitutto visto che la disuguaglianza è omogenea, posso porre $ abcd=1 $

Premetto che non ho letto il resto...
Pero' a me non sembra cosi' omogenea

[pi_greco_quadro]

spero di essermi fatto perdonare l'errore.. vedi post sopra per la disuguaglianza (spero!!) corretta

[Leblanc]

Ora mi pare proprio che sia tutto a posto!