OliForum Matematico

Perdonate la banalita', ma resto in grave dubbio riguardo alle seguenti quistioni (che pure sembrano decisamente banali):

Sia p(x) un polinomio con almeno un coefficiente irrazionale; determinare se e' possibile almeno una tra le seguente cose:

A) $ \forall x\in\mathbb{N} \; :\; p(x)\in\mathbb{N} $

B) $ \forall x\in\mathbb{Q} \; :\; p(x)\in\mathbb{Q} $

Specificare se e' possibile rafforzare (o indebolire) la tesi. (ad esempio se non esiste neanche un polinomio a coefficienti irrazionali con dominio gli interi e codominio i razionali, o se basta che il dominio sia un sottoinsieme infinito degli interi etc.)

(si, lo so anch'io che la A e' impossibile perche' sarebbe un controesempio a un problema del giornalino di questo mese...)



grazie

scusa ma c'e' una cosa che non mi torna.
Se pongo $ $p(x)=x+\sqrt{2}$ $ (polinomio con almeno un coefficiente irrazionale) allora $ $\forall x\in\mathbb{Q}(\supset\mathbb{N})\quad p(x)\notin\mathbb{Q}$ $
questo perche' dato che $ ~\mathbb{Q} $ e' chiuso rispetto alla somma e ogni suo elemento possieme un opposto, se $ ~x\in\mathbb{Q} $ (quindi $ ~-x\in\mathbb{Q} $) e $ ~x+\sqrt{2}\in\mathbb{Q} $ allora $ ~\sqrt{2}=(x+\sqrt{2})+(-x)\in\mathbb{Q} $ e questo non e' vero.

quello che mi torna e' che
dato polinomio $ ~p(x) $ con un solo coefficiente irrazionale allora $ $\forall x\in\mathbb{Q}^* : p(x)\notin\mathbb{Q}$ $
(banalmente) la B implica la A

Ed ora quello che torna a me:

1) $ \mbox{determinare se}\neq\mbox{dimostrare che} $



2) $ \mbox{almeno uno}\neq\mbox{uno e uno solo} $

Comunque con la battuta del giornalino intendevo che li' e' chiesto di dimostrare che tutti i polinomi a valori interi sono combinazioni lineari di binomiali (cosa piuttosto facile, dando per scontato che i coefficienti del polinomio siano razionali), e quindi il polinomio non puo' avere la proprieta' A.

Quello che mi interessa e' sapere quante volte e in che modo un polinomio con almeno un coefficiente irrazionale possa assumere valori razionali o addirittura interi..

Mmm... provo a buttar giù un idea. Sia n il grado di p, allora p è univocamente fissato dai suo valori in 1,2,3,4..,n,n+1. Fai due conti con Ruffini e vedi che tutti i suoi coefficienti sono razionali.. Appena ho tempo posto i conti.

Ah, hai ragione, e' un sistema lineare a coefficienti razionali....

ci sono stato un casino senza venirne a capo, grazie mille!

Beh col metodo di Sisifo si riesce a dire molto di più, cioè che esistono al più $ n $ razionali tali che la loro immagine sia razionale perchè supp. per assurdo che ce ne siano n+1 facciamo il sistemino e vengono fuori tutti i coefficienti razionali! figo!