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Siano dati A e B due punti nel piano. Sia P tale che ABP sia un triangolo equilatero. Siano dati X e Y sui lati AP e BP rispettivamente. Sia t la parallela ad AP passante per Y e s la parallela a BP passante per X. Sia P' il punto di incontro tra s e t. PP' incontra AB in P''. Dimostrare che:

(i) P''A:P''B=PY:PX
(ii) PP':PP'' = PY :P''A

[Utilizzarlo per dimostrare che se A e B sono due pianeti (o stelle) allora P è un punto lagrangiano (http://it.wikipedia.org/wiki/Punti_di_Lagrange) cioè un punto dove la risultante delle forze dei due pianeti fanno in modo tale che un punto materiale messo in P stia fermo nel sistema di riferimento centrato nel centro di massa dei due pianeti e ruotante in modo che i due pianeti A e B siano sempre sullo stesso asse.]

proprio facile facile

chiamiamo X' l'intersezione di s e AB e Y' l'intersezione di t e AB

il triangolo Y'X'P' è simile al triangolo ACP perchè ha due angoli congruenti in quanto angoli corrispondenti.

i) AP'' : P''B = Y'P'' : P''X' = K
PY : PX = AY' : X'B = (AP''-Y'P'') : (P''B-P''X) = (K P''B-K p''X')/(P''B-P''X) = K

ii) tracciamo la parallela a AP per P'', per talete si ha:
PP' : PP'' = AY' : AP'' = PY : AP''