OliForum Matematico

Dimostrare che per ogni k positivo si ha, per qualche n che (sqrt(2)-1)^k=sqrt(n)-sqrt(n-1).
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<BR>C\'è un ovvia generalizzazione...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Gauss il 07-12-2002 17:54 ]

n=((sqrt(2)-1)^2k+1/(sqrt(2)-1)^2k+2)

Può essere che, se k è una potenza di 2 esculso 2^0, n sia 2*(k/2)^3+1?
<BR>
<BR>p.s. per ottenere n (v. messaggio precedente) ho semplicemente risolto l\'equazione

Dovresti dimostrare che n è intero, credo

Devo aver sbagliato qualcosa per n=6, allora.... Vedrò appena posso.

c.d.d. : un piccolo errore e troppa fretta mi hanno portato a interpretare il testo nel modo sbagliato. scusate.
<BR>A proposito, un altro errore(questa volta solo di trascrittura): alla fine della formula risolutiva di n mi sono dimenticato un /4.

Io ho trovato n=1/(4(a^2k)) + (a^2k)/4 + 0,5 dove a=(sqrt2)-1
<BR>
<BR>probabilmente è la stessa di ale86 tant\'è che per k=6, ma anche k=7(poi mi sono fermato, non sono mica un fisico sperimentale...), vengono valori di n tipo x,000001
<BR>
<BR>mah...
<BR>
<BR>Tanto per essere sicuri... ma per \"ovvia\" generalizzazione si intende trovare tutti i valori di k per cui n è intero?
<BR>
<BR>\"I just think it\'s fucked up you don\'t answer fans\"...so hit me back
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<BR>P.S. indovinate chi ho citato
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: colin il 08-12-2002 12:40 ]

Ok, ci sono.
<BR>Partiamo dall\'identità di Colin: n = (1/4a^(2k))+(a^(2k))/4+1/2. (**)
<BR>La possiamo riscrivere come
<BR>n = (1/4)(1/(3-2sqrt2))^k+(1/4)(3-2sqrt2)^k+(1/2)(1)^k.
<BR>Definiamo quindi una successione:
<BR>a_k = (1/4)(1/(3-2sqrt2))^k+(1/4)(3-2sqrt2)^k+(1/2)(1)^k,
<BR>che altro non è che una successione per ricorrenza lineare, in cui
<BR>a_(k+3) = (b_1)(a_(k+2))+(b_2)(a_(k+1))+(b_3)(a_k),
<BR>in cui b_1, b_2 e b_3 sono l\'opposto dei coefficienti del termine di secondo, primo grado e del termine noto rispettivamente del polinomio di terzo grado (x-1/(3-2sqrt2))*(x-(3-2sqrt2))*(x-1)=x^3-7x^2+7x-1.
<BR>Dunque a_(k+3) = 7a_(k+2)-7a_(k+1)+a_k.
<BR>Ma dalla (**) abbiamo che a_0 = 1, a_1 = 2 e a_3 = 9, e quindi la successione degli a_k è una successione di interi, quindi per ogni k esiste uno ed un solo n intero che soddisfi la tesi.
<BR>
<BR>Chiedo scusa per la scarsa (leggi assente) chiarezza delle \"formule\"... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 08-12-2002 14:51 ]

Scusate la profonda ignoranza, ma cosa intendete con \"sqrt\"?

radice quadrata da square root (in inlgese)
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Considerando che (sqrt(2)-1)^k si può sempre scrivere come a_k+sqrt(2)b_k. facendo i conti si vede che a_(k+1)=2b_k-a_k e b_(k+1)=a_k-b_k.
<BR>Inoltre usando tale identità si che de subito che (a_k)^2-2(b_k)^2=(a_(k+1))^2-2(b_(k+1))^2, e cioè è sempre costante. Visto che per k=1 tale termine vale 1 varrà sempre così, e quindi possiamo prendere n=(a_k)^2 e n+1=2(b_k)^2.
<BR>

E io che pensavo a qualche concetto trignometrico! Nient\'altro che una radice. Grazie Azarus.

A proposito, la generalizzazione che intendevo io era:
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<BR>(sqrt(m)-sqrt(m-1))^k=sqrt(n)-sqrt(n-1)