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Come si calcola una base della controimmagine di un sottospazio?
Ad esempio ho una funzione lineare
$ f: R^m \rightarrow R^n $
W sottospazio di $ R^n $.. voglio trovare una base della controimmagine di W... come fareste voi?

trovare delle controimmagini dei generatori lo escluderei perchè se la funzione non è iniettiva potrei perdere dei pezzi visto che in caso di funzione non iniettiva
$ dim(U) \geq dim(f(U)) $

Trovare la controimmagine dei generatori e aggiungere i generatori del nucleo è giusto?

se
$ R^m = span(n_1, \cdots , n_r, v_{r+1}, \cdots , v_m) $
ottenuta prolungando una base del nucleo ($ N(f) = span(n_1, \cdots , n_r) $)
un generico vettore di $ R^m $ si scrive come
$ v = a_1 \cdot n_1 + \cdots + a_r \cdot n_r + a_{r+1} \cdot v_{r+1} + \cdots + a_m \cdot v_m $
f(v) sarà
$ f(v) = a_{r+1} \cdot f(v_{r+1}) + ... + a_m \cdot f(v_m) $
quindi l'immagine è generata dai corrispondenti dei generatori del dominio esclusi quelli del nucleo.

la controimmagine sarà quindi generata dalla controimmagine dei generatori di W più i generatori del nucleo.

Convince?

direi di si...prendi la controimmagine di una base di W, ci aggiungi una base del nucleo e trovi una base della controimmagine
O meglio:
se prendi una base di W e la completi a base di $ R^n $
per ogni vettore w della base trovi un vettore v tale che $ f(v) = w $
Completi la base che hai trovato a base di $ R^m $ aggiungendo una base del nucleo
La matrice associata ad f usando la due basi sopracitate ordinando i vettori in modo opportuno sarà sarà del tipo: $ [[I,0][0,0]] $
dove I è una matrice identità quadrata, e gli altri 0 sono matrici nulle (due rettangolari ed una quadrata).
La base dalla controimmagine di W sarà formata dalle controimmagini dei vettori della base di W più i vettori della base del nucleo