Dimostrazione del teorema di Stokes
Inviato: 25 mar 2007, 22:36
Sul mio testo di Fisica 1, come credo in tutti i testi di fisica, ho trovato il teorema di Stokes, che riporto:
Dimostrazione Dalla nota 3:
$ $ \int_S rot \vec{F} \cdot \hat{n} \, dS = \int_S \sigma_{\hat{n}} \, dS $ $
Dalla def. 2 si ricava il secondo membro:
$ $ \int_S \sigma_{\hat{n}} \, dS = \int_S \frac{d}{dS} C \, dS = C$ $
per la definizione di primitiva. Per la def. 1, il primo membro è $ $C$ $ e l'uguaglianza è dimostrata. $ \Box $
Sempre dal testo di fisica ho tratto i riferimenti per la dimostrazione:
(Gli integrali non mi convincono appieno.)
Poiché sprovvisto di dimostrazione (quella del mio professore è una pagina fitta di integrali doppi e tripli, francamente indigesti) ne ho prodotta una in maniera matematica da ciò che conosco:Teorema (di Stokes) La circolazione di un campo vettoriale $ $\vec{F}$ $, lungo una curva chiusa $ $\gamma$ $, è uguale al flusso del rotore di $ $\vec{F}$ $ relativo ad una qualunque superficie $ $S$ $ (contenuta nel dominio di esistenza del campo) che abbia per contorno $ $\gamma$ $:
$ $ \oint_{\gamma} \vec{F} \, dP = \int_S rot \vec{F} \cdot \hat{n} \, dS $ $
Dimostrazione Dalla nota 3:
$ $ \int_S rot \vec{F} \cdot \hat{n} \, dS = \int_S \sigma_{\hat{n}} \, dS $ $
Dalla def. 2 si ricava il secondo membro:
$ $ \int_S \sigma_{\hat{n}} \, dS = \int_S \frac{d}{dS} C \, dS = C$ $
per la definizione di primitiva. Per la def. 1, il primo membro è $ $C$ $ e l'uguaglianza è dimostrata. $ \Box $
Sempre dal testo di fisica ho tratto i riferimenti per la dimostrazione:
Non so se il seguente quesito è pertinente la sezione di Fisica (forse sta meglio in MNE?): poiché non ho avuto risposta dai miei docenti, qualcuno si sente di dire che la mia dimostrazione è, almeno matematicamente, sbagliata?Circolazione (1) Dato $ $\vec{F}(P)$ $ campo vettoriale, è definito come circolazione (o circuitazione) l'integrale, calcolato lungo una linea interna al dominio:
$ $ C=\oint \vec{F} \cdot dP $ $
in cui $ $dP$ $ indica uno spostamento infinitesimo lungo la linea.
Densità superficiale di circolazione (2) Scelta una posizione $ $P$ $ e una direzione orientata (di versore $ $\hat{n}$ $), sul piano perpendicolare a $ $\hat{n}$ $ e passante per $ $P$ $ si determina una linea chiusa (con $ $P$ $ al suo interno e il verso di percorrenza legato a $ $\hat{n}$ $ con la regola della mano destra). Se $ $C$ $ è la circolazione di $ $\vec{F}(P)$ $ lungo questa linea, e $ $S$ $ è l'area racchiusa dalla linea, la densità superficiale di circolazione è:
$ $ \sigma_{\hat{n}}(P) = \lim_{S\to0}\frac{C}{S}$ $
quando la linea che circonda $ $P$ $ diventa sempre più piccola (e, di conseguenza, l'area racchiusa tende a zero, oppure la linea tende ad essere il punto $ $P$ $ stesso).
Nota (3) La densità superficiale di circolazione, corrispondente ad una certa direzione orientata $ $\hat{n}$ $, si ottiene moltiplicando scalarmente il rotore di $ $\vec{F}$ $ e il versore $ $\hat{n}$ $:
$ $ \sigma_{\hat{n}}(P) = rot \vec{F} \cdot \hat{n} $ $
(Gli integrali non mi convincono appieno.)