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Sia G un albero in cui ogni vertice ha valenza n (da ogni vertice escono n archi), con n pari maggiore di 2.
Dimostrare che non è possibile immergere G come sottoinsieme di un qualche $ \mathbb{R}^k $ di modo che l'insieme dei vertici sia discreto e chiuso.

EvaristeG ha scritto:Sia G un albero in cui ogni vertice ha valenza n (da ogni vertice escono n archi).

Esistono 2 grafi con questa proprietà.
E per entrambi il claim è falso.

Beh ... allora, intanto il grafo del gruppo libero su p elementi è un albero in cui ogni vertice ha valenza 2p, quindi di grafi fatti così ce n'è almeno per ogni n pari.
Poi, in effetti ho scritto di fretta: avrei dovuto scrivere che lo volevo "chiuso", oltre che discreto.
Ora lo aggiungo e per non dare adito a dubbi ci metto n pari maggiore di 2.

Ok, la mia definizione di grafo vuole che sia finito, per questo non capivo.
Con l'esempio del gruppo libero è più chiaro.

Però anche qui trovo dei controesempi. Forse vuoi anche che l'insieme dei vertici sia compatto??
Sebbene così diventi veramente banale, perché un compatto infinito non può essere discreto in $ \mathbb{R}^n $...

A me sembra che qualsiasi grafo numerabile si immerga in R^3 in modo che i lati siano segmenti e i vertici formino un insieme discreto chiuso. Induttivamente fai cosi: se hai sistemato alcuni vertici, per mettere il successivo scarti un numero finito di piani (per evitare che i segmenti si intersechino) e numero finito di palle di raggio 1 (per fare l'insieme dei vertici chiuso discreto). Forse non mi accorgo di qualcosa....

Esattamente, e per fare grafi numerabili basta prendere l'unione di quelli descritti da Nonno Bassotto.
Per quelli più che numerabili invece è evidente che vale il claim di EvaristeG, ma a questo punto è pointless parlare di vertici di grafi perché è vero per insiemi qualunque.
Oh cosa ti sei sognato, Evaristo?!?

Uh, allora ... "chiuso e discreto" doveva tradurre il concetto di "good embedding" di un simpatico articoletto ... ora mi accorgo che non è equivalente. Il concetto è questo: voglio si conservi la topologia di G in una maniera buffa che è legata alla distanza.
Scrivo $ [V_n] $ per indicare una sequenza di vertici tale che
$ d(O,V_n)\to\infty $ al crescere di n (dove O è un vertice fissato a priori)
$ d(V_n,V_{n+1})<k $ per ogni n, con k fissato indipendente da n.
Sia W l'insieme di tutte queste successioni; dico $ [V_n]\sim [V'_m] $ se esistono sottosuccessioni $ n_i, m_i $ tali che
$ d(V_{n_i},V'_{m_i})<M $ per ogni n, con M fissato indipendente da n. Ovviamente dirò che una successione $ w^n $ di elementi di W converge a un elemento u di W se, presi dei rappresentanti $ w^n=[V^n_k] $, si ha che esistono una sottosuccessione $ n_i $ e una successione $ k(i) $ tali che $ [V^{n_i}_{k(i)}]=w $.
Ora, voglio un'immersione di G in uno spazio X di modo che vi sia una compattificazione buona (T^2, ad esempio Stone-Cech) di X in cui si immerga G+W conservando la "convergenza" definita sopra e di modo che W abbia la topologia descritta.

Anf pant ... le cappelle che ho detto precedentemente arrivavano dal fatto che io non stavo lavorando in R^n, ma in cose più grosse, in cui bastava che l'insieme fosse chiuso e discreto per avere tante altre cose ... ma lasciamo perdere.

Il succo è che, per X=R^n, quella cosa non si fa, se G è il grafo di un gruppo libero,
mentre se G è il grafo di Z^k si fa esattamente per $ n\geq k $ (sempre che non abbia dimenticato qualche altra cosa...).

Ovviamente il discorso sopra è molto lacunoso, ma spero si capisca l'idea di base.