OliForum Matematico

Un numero di primo di Mersenne è un numero primo della forma:
$ M_p=2^p-1 $
Un numero si dice perfetto se:
$ \sigma(n)=\displaystyle\sum_{d|n}d=2n $
Dimostrare che un numero pari è perfetto se e solo se $ n=2^{p-1}M_p $ con $ M_p $ primo di Mersenne.

Complemento: dimostrare che se $ M_p = 2^p -1 $ è un numero primo di Mersenne allora $ p $ è un numero primo.

Bye
#Poliwhirl#

Poliwhirl ha scritto:dimostrare che se $ M_p = 2^p -1 $ è un numero primo di Mersenne allora $ p $ è un numero primo.

Banalmente: se m|p (e 1<m<p...) allora (2^m-1)|(2^p-1) e 2^m-1 ha almeno un fattore primo diverso da 2^p-1...

Ciao!

Dunque....

Sia $ 2^{h}*k $ , con k dispari, un perfetto pari.

Poichè sigma è moltiplicativa si ha:

$ \sigma(2^{h}k)=\sigma(2^{h})*\sigma(k)=2^{h+1}k $

Ma poichè

$ \sigma(2^{h})=2^{h} + 2^{h-1} +...+ 1= 2^{h+1} -1 $

risulta

$ \sigma(k)*(2^{h+1}-1)=2^{h+1}k $

Quindi deve essere

$ \sigma(k)=2^{h+1}m $

da cui

$ k=m(2^{h+1}-1) $

$ \sigma(m(2^{h+1}-1))=2^{h+1}m $

Ma poichè

$ \sigma(m(2^{h+1}-1))=m*\sigma(2^{h+1}-1) + d $

con d la somma dei restanti divisori...
Se

$ 2^{h+1}-1 $

non fosse un primo, sarebbe

$ m*\sigma(2^{h+1}-1)>m(2^{h+1}) $

e se m fosse diverso da 1, d sarebbe diverso da 0.

Da ciò segue facilmente la tesi...

Spero di non aver fatto troppa confusione

Mi sembra che sia tutto ok