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m,n naturali dalla russia con furore
Inviato: 30 mar 2007, 17:34
da pi_greco_quadro
Si provi che, dati $ m,n $ naturali, le due cose si coimplicano
$ \displaystyle (2^m-1)^2\mid 2^n-1 \Leftrightarrow m(2^m-1)\mid n $
@darkcrystal: oh è vero... ho invertito la relazione di destra.. corretto
Inviato: 30 mar 2007, 20:10
da darkcrystal
Veramente direi che almeno un verso della freccia sia falso... in effetti se vale la relazione di sinistra per un certo n', allora vale anche per kn' con k a piacere, perciò posso prendere n=kn' grande a piacere, il che chiaramente falsifica la parte di destra... (prendi per prova m=1)
Per l'altro verso ci sto pensando.
EDIT: e in effetti (il mio pensarci era andare a cena
) anche l'altro verso non torna... perchè, se fisso n, poi posso prendere m grande a piacere come multiplo di n per verificare la relazione di destra, ma allora a sinistra il divisore cresce indefinitamente mentre quello che andrebbe diviso sta fermo... quindi o stasera sono ancora più scemo del solito, oppure qualcosa non torna nel testo...
Ciao!
Inviato: 30 mar 2007, 21:10
da darkcrystal
Ora sembra avere più senso... per i soliti lemmi, dalla prima ho m|n (e anche dalla seconda, ovviamente...). Allora sia n=dm. Sostituendo e semplificando un po', dopo aver scomposto la roba della relazione a sinistra, le relazioni diventano
$ (2^m-1)^2|(2^m-1)(\sum_{i}^{d-1}(2^{mi})) $ e $ 2^m-1|d $.
Riscrivendo la prima in termini di moduli si ha $ 0 \equiv \sum_{i}2^{mi} \equiv \sum 1 = d \pmod{(2^m-1)} $ quindi le due relazioni sono equivalenti... mi sembra
Ciao!