Esercizio del piano inclinato
Inviato: 31 mar 2007, 19:58
Eccomi di nuovo qui con un dubbio ... ebbene si sto passando il sabato pomeriggio su fisica 
Ho un piano inclinato (60° rispetto l'orizzontale) scabro (ud = 0,75), su cui giace in alto una massa (300Kg) inizialmente ferma. Questa scende per un tratto L (3m) e trova una molla che inizia a comprimere (k=20N/m). L'attrito è presente su tutto il piano, anche sotto la molla.
Ora posso risolvere partendo dall'energia potenziale e passare all'energia potenziale elastica senza passare per i punti intermedi. Oppure come vorrei fare, suddividere il problema in 2 problemi :
1) Analizzo le energie alla partenza e un attimo prima che tocchi la molla
2) Dal momento che tocca la molla alla compressione.
Iniziando da un'altezza h, nel punto A ho solo energia potenziale :
m g h
dove h = L senW (passatemi il W al posto di alfa o teta
)
correzione :
dove h = (L + x) senW (passatemi il W al posto di alfa o teta )
fine correzione
un attimo prima che tocco la molla la mia energia potenziale si sarà trasformata (secondo me) in :
- energia cinetica
1/2 m v^2
- energia di dispersione dovuto all'attrito
ud m g cosW L
- energia potenziale residua dovuto al fatto che sto ancora in una certa altezza (minore di h), che chiamo hx
m g hx
dove questa hx sarà hx=x senW con x la parte di compressione della molla
Pertanto ho m g hx + ud m g cosW L + 1/2 m v^2
Ora l'energia m g hx + 1/2 m v^2 mi diventa = 1/2 k x^2 + ud mg cosW x
Quindi l'energia con cui arrivo quando tocco la molla sarà data dalle 3 componenti sopra elencate che dovranno uguagliare l'energia della molla più di nuovo l'attrito sotto la molla. E questo mi porta ad un risultato sbagliato :
1/2 m v^2 + ud m g cosW L + m g hx = 1/2 kx^2 + ud m g cosW x
che è toppatissimo !!!
correzione :
1/2 mv^2 + mg hx mi diventa 1/2 kx^2 + ud mg cosW x
Pertanto ho che mgh = 1/2kx^2 + ud mg cosW(L+x) dove h = (L+x) senW
fine correzione
Altro ragionamento
Invece se ragiono in questo modo, arrivo al risultato giusto :
ho energia potenziale per il tratto L+x che si trasforma in energia potenziale elastica più energia dispersa dall'attrito
mg(L+x) sen W = 1/2 kx^2 + ud m g cosW(L+x)
che è l'espressione corretta. Vorrei arrivarci anche facendo il problema step by step ma non capisco dove ragiono male !!!
Altro ragionamento
Potrei ragionare facendo sempre riferimento al teorema dell'energia cinetica e al lavoro delle forze agenti sul sistema.
All'inizio avrò Ti = 0 e Tf = 1/2 mv^2
Tf = L(F tot) * d
F tot = P - Fatt = mg cosW - ud mg cosW
Pertanto avrò :
1/2 mv^2 = mg senW L - ud mg cos W L
Quando comprimo la molla ho :
Ti = 1/2 mv^2 e Tf = 0
-Ti = L(F tot) * d
F tot = P - Fatt + Fel = mg senW - ud mg cosW - kx
Pertanto avrò :
-1/2mv^2 = mg senW x - ud mg cosW x - 1/2 kx^2
Mettendo le 2 equazioni ottenute a sistema e facendo la somma ottengo :
1/2 mv^2 = mg senW L - ud mg cosW L
-1/2mv^2 = mg senW x - ud mg cosW x - 1/2 kx^2
0 = mg senW (L+x) - ud mg cosW (L+x) - 1/2kx^2
Da cui
mg senW (L+x) = 1/2 kx^2 + ud mg cosW (L+x)
Risolvo l'equazione di secondo grado.
Qual'è il metodo più indicato per la risoluzione secondo voi ?
Ho un piano inclinato (60° rispetto l'orizzontale) scabro (ud = 0,75), su cui giace in alto una massa (300Kg) inizialmente ferma. Questa scende per un tratto L (3m) e trova una molla che inizia a comprimere (k=20N/m). L'attrito è presente su tutto il piano, anche sotto la molla.
Ora posso risolvere partendo dall'energia potenziale e passare all'energia potenziale elastica senza passare per i punti intermedi. Oppure come vorrei fare, suddividere il problema in 2 problemi :
1) Analizzo le energie alla partenza e un attimo prima che tocchi la molla
2) Dal momento che tocca la molla alla compressione.
Iniziando da un'altezza h, nel punto A ho solo energia potenziale :
m g h
dove h = L senW (passatemi il W al posto di alfa o teta
)correzione :
dove h = (L + x) senW (passatemi il W al posto di alfa o teta
)fine correzione
un attimo prima che tocco la molla la mia energia potenziale si sarà trasformata (secondo me) in :
- energia cinetica
1/2 m v^2
- energia di dispersione dovuto all'attrito
ud m g cosW L
- energia potenziale residua dovuto al fatto che sto ancora in una certa altezza (minore di h), che chiamo hx
m g hx
dove questa hx sarà hx=x senW con x la parte di compressione della molla
Pertanto ho m g hx + ud m g cosW L + 1/2 m v^2
Ora l'energia m g hx + 1/2 m v^2 mi diventa = 1/2 k x^2 + ud mg cosW x
Quindi l'energia con cui arrivo quando tocco la molla sarà data dalle 3 componenti sopra elencate che dovranno uguagliare l'energia della molla più di nuovo l'attrito sotto la molla. E questo mi porta ad un risultato sbagliato :
1/2 m v^2 + ud m g cosW L + m g hx = 1/2 kx^2 + ud m g cosW x
che è toppatissimo !!!
correzione :
1/2 mv^2 + mg hx mi diventa 1/2 kx^2 + ud mg cosW x
Pertanto ho che mgh = 1/2kx^2 + ud mg cosW(L+x) dove h = (L+x) senW
fine correzione
Altro ragionamento
Invece se ragiono in questo modo, arrivo al risultato giusto :
ho energia potenziale per il tratto L+x che si trasforma in energia potenziale elastica più energia dispersa dall'attrito
mg(L+x) sen W = 1/2 kx^2 + ud m g cosW(L+x)
che è l'espressione corretta. Vorrei arrivarci anche facendo il problema step by step ma non capisco dove ragiono male !!!
Altro ragionamento
Potrei ragionare facendo sempre riferimento al teorema dell'energia cinetica e al lavoro delle forze agenti sul sistema.
All'inizio avrò Ti = 0 e Tf = 1/2 mv^2
Tf = L(F tot) * d
F tot = P - Fatt = mg cosW - ud mg cosW
Pertanto avrò :
1/2 mv^2 = mg senW L - ud mg cos W L
Quando comprimo la molla ho :
Ti = 1/2 mv^2 e Tf = 0
-Ti = L(F tot) * d
F tot = P - Fatt + Fel = mg senW - ud mg cosW - kx
Pertanto avrò :
-1/2mv^2 = mg senW x - ud mg cosW x - 1/2 kx^2
Mettendo le 2 equazioni ottenute a sistema e facendo la somma ottengo :
1/2 mv^2 = mg senW L - ud mg cosW L
-1/2mv^2 = mg senW x - ud mg cosW x - 1/2 kx^2
0 = mg senW (L+x) - ud mg cosW (L+x) - 1/2kx^2
Da cui
mg senW (L+x) = 1/2 kx^2 + ud mg cosW (L+x)
Risolvo l'equazione di secondo grado.
Qual'è il metodo più indicato per la risoluzione secondo voi ?