OliForum Matematico

salve,
ho bisogno della dimostrazione di qualche limite notevole e non riesco a trovarla da nessuna parte, vi sarei molto grata se riusciste ad aiutarmi.
i limiti sono i seguenti:
(ve li elenco cn questi link)
http://upload.wikimedia.org/math/7/e/9/ ... 701068.png
http://upload.wikimedia.org/math/c/2/b/ ... 104c24.png
http://upload.wikimedia.org/math/4/4/3/ ... 53f9e0.png

vi ringrazio anticipatamente![/img]

$ \lim_{x \rightarrow +\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e $

effettuo la sostituzione $ t=1/x $
$ x=1/t $

$ \lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^\frac{1}{t} = e $

$ (1+t)^\frac{1}{t} = e^\frac{\ln(1+t)}{t} $

quindi $ \lim_{t \rightarrow 0}e^\frac{\ln(1+t)}{t} $

all'esponente di $ e $ c'è il limite fondamentale che tende a 1 per $ t $ che tende a 0

quindi il limite tende ad e.

vale anche per meno infinito.


ciao.

Jordano ha scritto:
quindi $ \lim_{x \rightarrow +\infty}e^\frac{\ln(1+t)}{t} $

x tendendo ad infinito?

Comunque posto le tre dimostrazioni:

1) $ lim_{x\rightarrow +\infty}({1+\frac{1}{x}})^x= e $ per la definizione data da Euler ( si puo facilmente dimostrare l'esistenza di tale limite )

2) $ lim_{x\rightarrow 0}{ \frac{ln(1+x)}{x}} = lim_{x\rightarrow 0}{ \frac{1}{1+x}} $ ( per la regola di l'hopital ) = 1

3)$ lim_{x\rightarrow 0}{ \frac{e^x - 1}{x}} $ = (ponendo $ e^x - 1 = t $ ) =$ lim_{t\rightarrow 0}{ \frac{t}{ln(t+1)}} $=
$ lim_{t\rightarrow 0}(log_{[({1+t})^\frac{1}{t}]}e}) = 1 $

Ciao

chiedo scusa per l'errore di scrittura sopra che ho corretto.