OliForum Matematico

Sia data una scacchiera 100*100 e delle tesserine 3*1.

1- E' possibile, tolto un quadrato 2*2 al centro, tassellarla con tali tesserine?
2- E' possibile invece se il quadrato 2*2 lo si toglie da un vertice?


Per la 1 è molto semplice, per la due esistono invece almeno due soluzioni, una più semplice e una più sofisticata. Sconsigliato comunque agli esperti (quindi a edriv ed enomis)


Uooops, dimenticavo... viene dalla 'Cesenatico fake Edition vol.4' dello stage di Parma... bel problemino, anche se standard

Visto che nessuno lo considera... e visto che poi per un mesetto sarò senza internet e soffrirò di astinenza da problemi

2. Possiamo supporre che sia l'angolo in alto a sinistra. Facciamo una normale colorazione a tre colori shiftando verso sinistra (in altre parole le prime caselle risultano
123123...
231231...
312312...
...)
In totale ci sono 3334 caselline tipo 1 e 3333 caselle tipi 2 e 3. Levando il quadratino 2x2 in alto a sinistra levo due caselle tipo 2 e una sola degli altri 2 tipi. Siccome ogni tessera 3x1 copre una casella di ogni tipo, abbiamo un assurdo.
Dunque è impossibile.

Molto bene darkcrystal, questa era la colorazione più evidente (volendo lo si poteva fare a soli due colori : 1, 2, 2, e togliere l'angolo in cui c'è un solo uno).
C'è però una soluzione molto più sofisticata, che fa uso anche di invarianti, e siccome mi sembra molto istruttiva vi invito a provare a trovarla.

Ps: credo che ormai qualche principiante potrebbe provare il punto uno, eh

Uhm, forse l'altra colorazione poteva essere questa:

Coloro la prima riga di bianco, la seconda verde e la terza rossa, poi la quarta bianca e cosi' via. Le caselle verdi e quelle rosse sono congrue mod 3, e lo restano se levo una piastrella 3x1. Alla fine non lo sarebbero piu' (ne reseterebbero due verdi e 0 rosse).

salva90 ha scritto:qualche principiante

Presente!

Per quanto riguarda il problema:

1) Si può fare. Infatti eseguendo la stessa colorazione di darkcrystal c'è un sistema x determinare il colore di ogni casella. Data una casella nella riga r e nella colonna c avremo che il suo colore sarà:
r+c-1 (mod.3)

Quindi il quadrato 2*2 centrale, che è quello formato dalle caselle:
1)r=5000 c=5000 Colore=5000+5000-1=9999=3 mod.3
2)r=5001 c=5000 Colore=5001+5000-1=10000=1 mod.3
3)r=5000 c=5001 Colore=5001+5000-1=10000=1 mod.3
4)r=5001 c=5001 Colore=5001+5001-1=10001=2 mod.3

Poichè all'inizio vi sono 3334 caselle tipo 1, 3333 tipo 2 e 3333 tipo 3, togliendo il quadrato centrale formato da 2 caselle tipo 1, 1 casella tipo 2 e 1 casella tipo 3 rimane una scacchiera composta da 3332 caselle di ogni tipo. Quindi si potrebbe fare. Ora cerchiamo una configurazione esatta.
BASE:Immaginiamo di avere una scacchiera 3x100. Possiamo riempirla con i tasselli 3x1 disponendo in ogni riga 33 tasselli orizzontali che riempiono 3x99 e riempiendo la colonna restante con un tassello verticale.
La scacchiera "mutilata" è composta da 4999 righe complete sopra il quadrato, 4999 righe complete sotto il quadrato e 2 righe prive delle 2 caselle centrali.
Ora le prime 4998 righe le riempiamo con lo schema BASE, così come le ultime 4998. Le quattro righe centrali le riempiamo così:
Riga 1 (completa)=Disponiamo 33 tasselli orizzontali e lasciamo uno spazio all'estremità destra
Riga 2 e 3(incomplete)=Lasciamo 1 spazio ad ogni estremità, quindi vi sono 48 tasselli a sinistra e a destra divisi dalle 2 mancanti al centro, che riempiamo disponendo i tasselli orizzontali.
Riga 4=Disponiamo 33 tasselli orizzontali, lasciando vuota la casella all'estremità sinistra.
Quindi abbiamo lasciato 3 spazi consecutivi ad ogni estremità, che riempiamo con 2 tasselli verticali.

Scusatemi per la lunghezza e per la probabile incomprensibilità

ma scusa, senza incasinarsi a vita, circondavi il quadrato centrale con 4 tessere a formare un quadrato 4*4, tolto il quale il resto lo puoi dividee in 4 rettangoli 48*52, tassellabili


salva90 con l'account di gabriel

Una configurazione l'ho messa nella dimostrazione... solo che prima volevo convincermi che fosse possibile... vabbè
Tanto ad incasinarmi la vita nn mi batte nessuno...
Domanda: ma si può reperire su internet il materiale dei vari stages (Parma, Pisa, Napoli...)?

Alex89 ha scritto:Una configurazione l'ho messa nella dimostrazione... solo che prima volevo convincermi che fosse possibile... vabbè
Tanto ad incasinarmi la vita nn mi batte nessuno...
Domanda: ma si può reperire su internet il materiale dei vari stages (Parma, Pisa, Napoli...)?

Credo che quello di Parma verrà presto messo online, quello di Pisa lo trovi facilmente, Napoli non so...
E comunque quello di Parma ormai l'ho postato quasi tutto