OliForum Matematico

Consideriamo su $ \mathbb{R}^2 $ la relazione di equivalenza
$ (x,y) r (x_1,x_2) $ se e solo se $ (x,y) = (x_1,y_1) $ oppure $ (x-x_1) \in \mathbb{Z} , y=y_1 $.
Si $ X := \mathbb{R}^2 / \sim $.
Dire se $ X $ è omeomorfo a $ S^2 \setminus {(0,0,1),(0,0,-1)} $ in $ \mathbb{R}^3 $, e cosrtuire esplicitamente un omeomorfismo.

Vi spiego come ho portato fin'ora avanti il mio esercizio.
1)Dimostro che $ X $ è omeomorfo a $ S^1 $ X $ \mathbb{R} $
definendo $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow S^1 $ X $ \mathbb{R} $, con
$ f(x,y) = (cos(2\pi x),sin(2\pi x, y) $.
f è continua, suriettiva passa al quoziente perchè rispetta r.di equivalenza.
Per dimostrare che la funzione $ F : X \rightarrow S^1 $ X $ \mathbb{R} $ è un
omeomorfismo, dovrei ricondurmi o a dimostrare che f è aperta, o che gli aperti
di $ \mathbb{R}^2 $ saturi rispetto a f siano mandati da f in aperti di
$ S^1 $X $ \mathbb{R} $. In effetti questo punto è il mio vero problema, perchè nel seguito dimostro 'canonicamente' che

2) $ S^2 \setminus {(0,0,1)} $ è omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 $ (con la proiezione stereografica P di polo (0,0,1)) e poi per restrizione di omeomorfismo, $ S^2 \setminus {(0,0,1),(0,0,-1)} $ è omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 \setminus {P(0,0,-1)} $, dove a meno di omeomorfismo possiamo supporre che $ S^2 \setminus {(0,0,1),(0,0,-1)} $ è omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)} $

3) Dimostro che $ S^1 $ X $ \mathbb{R} $ è omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)} $


Ma allora $ X \sim S^1 $ X $ \mathbb{R} \sim \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)} \sim S^2 \setminus {(0,0,1),(0,0,-1)} $.

Come risolvo il problema centrale della verifica su F?? Qualche suggerimento? Trovare gli aperti saturi rispetto a f non mi sembra cosi ovvio, per questo vi ho scritto l'esercizio!

Beh ... non ho voglia di scrivere i dettagli, ma considera la mappa
$ H:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\times\mathbb{R} $
che manda un punto nelle sue coordinate (le coordinate con cui definisci la relazione di equivalenza).
H è ovviamente un omeomorfismo. Puoi utilizzarlo per creare un omeomorfismo
$ h:X\to(\mathbb{R}/\mathbb{Z})\times\mathbb{R} $
in quanto H è compatibile con entrambe le relazioni di equivalenza (e pure il suo inverso) quindi discende ad h continua (e pure il suo inverso); inoltre è facile verificare che H e il suo inverso discendono a quoziente in due applicazioni l'una inversa dell'altra.
Ora, saprai dimostrare che $ \mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1 $ e dunque
$ X\cong S^1\times\mathbb{R} $.

Ok, mi torna, però così cambio un pò strada rispetto a come l'avevo pensata io.
Comunque altro problema di formalizzazione. (poi giuro di smetterla).

Consideriamo su $ \mathbb{R} $ la relazione di equivalenza:
$ x \ro y $ se e soltanto se $ x, y \in \mathbb{Z} $ oppure esiste $ k \in \mathbb{Z} : x - y = 3k $.
Sia $ Y $ lo spazio quoziente.

La domanda è ora se lo spazio Y è di Hausdorff.
Una volta capito che $ Y \cong $ {bouquet di 3 circonferenze}, come formalizzo questa intuizione? o meglio, come posso scrivere esplicitamente un omeomorfismo con $ \cup_{k=1,2,3} { (x,y) | (x-k)^2 + y^2 = k^2 } $ ?
Pensavo di sfruttare ovviamente seni e coseni, come nel caso di $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1 $, ma il tutto non mi pare così ovvio.

La voglia è sempre meno ... guarda se questa sega mentale ti convince:
$ f_k:[3k, 3k+3[\to\mathbb{R}^3 $ sia data da
$ f_k(x)=\left\{\begin{array}{ll}(x-2k,k,k,)&3k\leq x\leq3k+1\\ (k+1, x-2k-1,k)&3k+1\leq x\leq 3k+2\\(k+1,k+1,x-2k-2)&3k+2\leq x< \3k+3\end{array}\right. $
Incollando le $ f_k $ in una $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 $, otteniamo un'inclusione di R in R^3, che è omeo con l'immagine.
Ora, consideriamo su R^3 la relazione indotta da Z^3, ovvero
$ (x,y,z)\sim(x',y',z')\Leftrightarrow x-x', y-y',z-z'\in\mathbb{Z} $
Il quoziente è $ T^3=(\mathbb{S}^1)^3\cong (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^3 $ tramite ad esempio la mappa
$ \pi:(x,y,z)\mapsto (e^{2\pi i x}, e^{2\pi i y}, e^{2\pi i z}) $ che vede T^3 come sottoinsieme di $ \mathbb{C}^3 $ (è la stessa cosa coi seni e coseni, ma si scrive prima).
E' facile verificare che, detta $ \sim' $ la tua relazione su R, si ha
$ x\sim'y\Leftrightarrow f(x)\sim f(y) $.
Dunque, il tuo spazio quoziente Y è omeomorfo a $ \pi(f(\mathbb{R})) $, quidni è sottospazio di uno spazio di Hausdorff (C^3) e dunque lo è lui stesso.