OliForum Matematico

Avevo trovato questo esercizio nella fermat del 2006:

Abbiamo un triangolo rettangolo. Uno dei due cateti è lungo 35 metri, mentre gli altri sono sempre un numero intero di metri. Calcolare perimetro massimo e minimo.


Prendendo spunto da questo problema, c'è un modo semplice per trovare subito le terne pitagoriche?

Allora vediamo...


le terne pitagoriche PRIMITIVE sono tutte della forma:
$ x=a^2-b^2 $
$ y=2ab $
$ z=a^2+b^2 $

con a, b interi positivi di parità opposta (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

ad esempio nel tuo caso abbiamo:

$ 35=\frac12 70 $
quindi la terna minima con 70 (non primitiva) sarebbe:
$ x=70=2\cdot 7\cdot 5 $
$ y=49-25=24 $
$ z=49+25=74 $
mentre quella con 25 ha esattamente i lati in proporzione di $ \frac12 $ :
$ x=35 $
$ y=12 $
$ z=37 $
vediamo il massimo:
$ x=70=2 \cdot 35 \cdot 1 $
$ y=1225-1=1224 $
$ z=1225+1=1226 $
da cui :
$ x=35 $
$ y=612 $
$ z=613 $

(averlo saputo un anno prima non avrei cazziato un altro jolly )

Girando un po' ho nel forum ho visto questo problemino, e allora ne approfitto per postare un piccolissimo risultato che sarebbe stato utile e a cui ero giunto tempo fa, e che probabilmente (adesso non ho molta voglia di provare...) si dimostra in due minuti sapendo $ $x=a^2-b^2 $ etc. (io mi ero arrangiato...)

Dato un cateto intero $ $n $, tutte le terne pitagoriche con n sono della forma
$ $x=n $
$ $y=\frac{n^2-k^2}{2k} $
$ $z=y+k=\frac{n^2+k^2}{2k} $
dove $ $k $ è un divisore $ $n^2 $ minore di esso e con la sua stessa parità, inoltre se $ $n $ pari deve essere $ $v_2(n^2)>v_2(k) $.

Grazie a questa si trova subito che le due terne sono quelle con $ $k=1 $ e $ $k=25 $