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Dalla Fake edition n^3, ecco un altro esercizietto!

Determinare per quali valori naturali di n il numero $ n^{2006}+n+1 $ è primo.


Buona fortuna, e non usate le radici terze dell'unità

... dopo aver scoperto che $ n^2+n+1 | n^{2006}+n+1 $ sono stato molto contento di rileggere il tuo commento...

Comunque sono semplicemente conti: $ n^{2006}+n+1 \equiv 0 \pmod {n^2+n+1} $ vuol dire $ n^{2006} \equiv n^2 \pmod {n^2+n+1} $, ossia $ n^{2004} \equiv 1 \pmod {n^2+n+1} $. Ma $ n^2+n+1 | (n^3-1) | (n^{2004}-1) $

(Ah, da questo segue banalmente che l'unica soluzione è n=1)

Ciao!

darkcrystal ha scritto:... dopo aver scoperto che $ n^2+n+1 | n^{2006}+n+1 $

il resto va bene, ma se mettessi una piccola dim di questo sarebbe meglio

Ehm... è una mia impressione o è quello che ho fatto sotto? L' ho scritta un po' sotto forma di congruenze e un po' sotto forma di di divisibilità, però...

E' la stessa cosa di qua: viewtopic.php?t=7924

Darkcrystal non intendeva che "per ogni n intero, valgono quelle congruenze (tra interi)", ma quelle congruenze le stava proprio facendo con i polinomi!

Le congruenze tra polinomi si definiscono allo stesso modo: $ \displaystyle P(x) \equiv Q(x) \pmod{M(x)} \Leftrightarrow M(x) \mid P(x) - Q(x) $ (dove anche la divisibilità è tra polinomi).

E vi dirò di più: visto che $ \displaystyle n^2+n+1 $ è irriducibile nei razionali, potete anche trovare l'inverso di un polinomio a coefficienti razionali mod $ \displaystyle n^2+n+1 $! Ma questo non ci serve a niente

Ah si, scusate. ho capito ora (l'ora tarda e il sonno arretrato giocano brutti scherzi)

Vi assicuro comunque che se arriva l'idea buona (e rapida) il resto segue molto meccanico, senza nessuna grande conoscenza