OliForum Matematico

Questo problema era il numero due della gara a premi di parma, ma nonostante ci avessimo fatto a pugni tutta la notte io e pigkappa non siamo riusciti a risolverlo...

Aiutateci...


Sia $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ una funzione non costante che per ogni $ x\in\mathbb{R} $ soddisfi:

• $ |f(x)|\le2007 $
  
  $ f(x+\frac{13}{42})+f(x)=f(x+\frac16)+f(x+\frac17) $

Dimostrare che $ f $ è periodica


EDIT: scusate l'errore (grazie pi_greco_quadro)

uhm.. non serve che la funzione sia continua, per caso?

ma_go ha scritto:uhm.. non serve che la funzione sia continua, per caso?

direi che il testo non lo diceva... spero non ci sia stato un errore ma non credo che serva

uhm.. già, sono un idiota io...
non credo che abbia nulla a che vedere con la continuità..

Hmm, vediamo un po'.

Innanzitutto, bisogna dare una sistemata alle ipotesi: vedere quello che serve e quello che fa solo casino.

- |f(x)| <= 2007. Questo fa solo casino. Supponiamo infatti che una funzione che soddisfa $ ~ |f(x)| \le 2008 $ (ma non con 2007) sia una contraddizione al problema. Definendo $ ~ f'(x) = \frac 12f(x) $, trovo una contraddizione vera al problema (nel senso, con tutte le ipotesi giuste), quindi un'ipotesi più chiara sarebbe "il dominio di f è limitato".

- non costante: questo serve solo a togliere l'ambiguità "una funzione costante è periodica???", ignoriamolo pure

- quelle antipatiche frazioni? Questo fa solo casino. Infatti possiamo riscrivere tutto togliendo i denominatori, ora lo dimostro. Poniamo $ ~ g(x) = f(\frac 1 {42} x) $. L'ipotesi diventa: $ ~ g(42x+13) + g(42x) = g(42x+6) + g(42x+7) $. Essendo l'ipotesi valida per tutti gli x reali, vale anche per $ ~ y = 42x $, quindi per ogni y reale: $ ~ g(x+13) + g(x) = g(6) + g(7) $. Se dimostro che g è periodica, anche f sarà periodica, e inoltre g è limitata sse lo è f.

- i reali nel dominio? Visto l'ultimo punto, e la non ipotesi di continuità, le ipotesi non ci fanno uscire dagli interi, quindi potevano essere benissimo solo gli interi nel dominio.

Questo non faceva parte della dimostrazioni, erano solo osservazioni utili.
Riscrivo le ipotesi come:
- il dominio di f è limitato
- $ ~ f(x+6)-f(x) = f(x+13)-f(x+7) $
E definisco $ ~ g(x) = f(x+6) - f(x) $, per ipotesi, $ ~ g(x) = g(x+7) $.
Ora, vediamo un po':
- fisso i (7) valori di g
- f(x+6) = f(x) + g(0)
- f(x+12) = f(x+6) + g(6) = f(x) + g(0) + g(6)
- f(x+18 ) = f(x+12) + g(12) = f(x) + g(0) + g(6) + g(5)
- ... e così via fino a:
- f(x+42) = f(x) + g(0) + g(6) + g(5) + g(4) + g(3) + g(2) + g(1)
Ponendo g(0) + g(6) + g(5) + g(4) + g(3) + g(2) + g(1) = k, ho f(x+42) = f(x) + k.
Ma quindi, se k è diverso da 0, potrei andare abbastanza avanti (basta accumulare un numero sufficiente di k) per sfondare la limitazione superiore del codominio di f. Quindi k=0, e f(x)=f(x+42), quindi è periodica.

Speriamo sia giusta..