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Trovare tutti gli interi positivi $ m $ tali che $ \tau^4(m)=m $


Bel problemino, sempre dalla gara a premi di Parma (l'ultimo che posto in TdN, promesso ). Peccato che l'abbia bruciato boll, con un pò di pazienza non era difficile ed era bellino

Potresti anche definite $ ~ \tau(n) $ come numero di divisori di n, ad esempio tau(3) = 2, tau(12) = 6, per chi non usa ogni giorno questa notazione.

edriv ha scritto:Potresti anche definite $ ~ \tau(n) $ come numero di divisori di n, ad esempio tau(3) = 2, tau(12) = 6, per chi non usa ogni giorno questa notazione.

...Mmm non mi è parso banale, secondo me uno che non conosce questa funzione non riuscirebbe comunque a farlo...
Comunque avrei potuto scriverlo, è vero, non mi costava nulla. Sorry (anche se dal titolo si capiva)

secondo me gli unici valori di m possibili sono 1, 625,6561,4100625.

sgiangrag ha scritto:secondo me gli unici valori di m possibili sono 1, 625,6561,4100625.

Ora non ricordo se sono giusti o no, ma 'secondo me' significa che hai una dimostrazione o no?

si solo che era tardi e non avevo voglia di scriverla
T(m)=p1^a1*p2^a2*...*pn^an.
La tesi è vera per m=1
Se m diverso da 1 la tesi corrisponde a
(4a1+1)(4a2+1)*...( 4an+1)=p1^a1*p2^a2*...pn^an=T(m) (1)
osserviamo che il numero di fattori al membro destro è uguale a quello sinistro
se n=1 T(m) deve essere della forma p1^a1. Quindi p1=(4a1+1)^(1/a1)<2>4 contro ipotesi e analizzando i 4 numeri della forma 4a1+1: 5,9,13,17; 5=4*1+1=5^1 quindi la tesi vale per p1=4, a1=1 quindi m=625; delle altre l' unica potenza perfetta è 9=4*2+1=3^2 quindi la tesi vale per a1=2, p1=3 quindi m=6561
se n>2 osserviamo che se per ongi i ai<5 non ci possono essere j,k tali che aj=ak, perchè dato che 4aj+1 divide T(m), T(m) sarebbe anche divisibile per (4aj+1)^2 e dato che nei 4 numeri della forma 4ai+1 non ci sono nella fattorizzazione numeri primi diversi si avrebbe che il numero di numeri primi al primo membro della (1)sarebbe <di>4 si vede che è impossibile perchè anche mettendo tanti (4aì+1) non capitano mai tutte queste potenze così elevate tutte insieme.
Quindi ci rimane solo n=2 con T(m)=p1^a2*p2: (2*4+1)(1*4+1)=45=3^2*5 va bene quindi m=4100625.

salva90 ha scritto:...Mmm non mi è parso banale, secondo me uno che non conosce questa funzione non riuscirebbe comunque a farlo...
Comunque avrei potuto scriverlo, è vero, non mi costava nulla. Sorry (anche se dal titolo si capiva)

P.S: io non lo conoscevo questo simbolo