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Mostrare che $ \sigma(n)\phi(n)< n^2 $ per ogni intero $ n $, ma che esiste una costante positiva $ c $ tale che $ \sigma(n)\phi(n)\ge cn^2 $ vale $ \forall n\in\mathbb{N} $

Mostrare inoltre che $ \sigma(n)+\phi(n)\ge2n $ $ \forall n\in\mathbb{N} $

credo che chi ancora non sa cosa siano certe funzioni non riuscirà a risolvere il problema, comunque definiamo:
$ \sigma(n)= $ somma dei divisori positivi di n
$ \phi(n)= $ numero di interi minori di n con esso coprimi

Su questo ho un po' di dubbi... dunque, la prima parte è facile (si fanno i conti sulle potenze di primi, e poi abbiamo tutte funzioni moltiplicative).
Per quel che riguarda la costante, provo questa dimostrazione:
sia $ \Psi(n)=\phi(n)\sigma(n) $. Facendo i conti di cui prima, si dimostra che (dato che è prodotto di funzioni moltiplicative è moltiplicativa):
$ \Psi(p^a)=p^{2a}-p^{a-1} $ e $ \Psi(p^aq^b)=\Psi(p^a)\Psi(q^b) $
Dobbiamo quindi avere $ \displaystyle \prod_{p|n}(p^{2a}-p^{a-1}) \geq cn^2 $, ossia, dividendo per il quadrato di ogni primo, $ \displaystyle \prod_{p|n}(1-p^{-a-1}) \geq c $. Ma si ha anche $ \displaystyle \prod_{p|n}(1-p^{-a-1}) \geq \prod_{p|n}(1-p^{-2}) $. Ora ora ora... questa roba è l'inverso del prodotto di Eulero (troncato) $ \zeta(2) $ che è un numero positivo finito. Quindi esiste una tale costante. (nel peggiore dei casi 'tende' all'inverso di zeta(2))

Ciao!

Provo con la seconda:
sfrutto l'identità $ \displaystyle \sum_{d \mid n} \phi(d) = n $.

$ \displaystyle \sigma(n) + \phi(n) \ge 2n $
$ \displaystyle \sum_{d \mid n}d + \phi(n) \ge 2n $
$ \displaystyle \sum_{d \mid n, d \neq n} d + \phi(n) \ge n $
$ \displaystyle \sum_{d \mid n, d \neq n} d + \phi(n) \ge \sum_{d \mid n} \phi(d) $
E quest'ultima si riscrive come:
$ \displaystyle \sum_{d \mid n, d \neq n} (d - \phi(d)) \ge 0 $

Però non è difficile vedere che $ \displaystyle d \ge \phi(d) $ per ogni d.

Uhm, anche Chebycheff va bene per la seconda:

1) $ \sigma (p^k)+\phi (p^k) \geq 2p^k $

2) Per ogni a intero positivo: $ \sigma (a)\geq \phi (a) $

Scelgo a,b coprimi, e induco:

3) $ \sigma (a)+\phi (a) \geq 2a $ e $ \sigma (b)+\phi (b) \geq 2b $ implicano $ \sigma (ab)+\phi (ab) \geq \frac{(\sigma (a)+\phi (a))(\sigma (b)+\phi (b))}{2}\geq 2ab $

piever ha scritto:3) $ \sigma (a)+\phi (a) \geq 2a $ e $ \sigma (b)+\phi (b) \geq 2b $ implicano $ \sigma (ab)+\phi (ab) \geq \frac{(\sigma (a)+\phi (a))(\sigma (b)+\phi (b))}{2}\geq 2ab $

dove comunque la disuguaglianza "critica" si fa anche svolgendo i prodotti per riarrangiamento: infatti equivale a $ 2\sigma(ab) + 2\varphi(ab) \geq \sigma(ab)+\sigma(a)\varphi(b) + \sigma(b)\varphi(a) + \varphi(ab) $, ossia $ \sigma(a)\sigma(b)+\varphi(a)\varphi(b) \geq \varphi(a)\sigma(b) + \varphi(b)\sigma(a) $ che è riarrangiamento...

Ciao!

salva90 ha scritto:Mostrare che $ \sigma(n)\phi(n)< n^2 $ per ogni intero $ n $, ma che esiste una costante positiva $ c $ tale che $ \sigma(n)\phi(n)\ge cn^2 $ vale $ \forall n\in\mathbb{N} $

Mostrare inoltre che $ \sigma(n)+\phi(n)\ge2n $ $ \forall n\in\mathbb{N} $

Esattamente i problemi #1, #3 e #4 di questo filo, non necessariamente nello stesso ordine.