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E' fatto ben noto e facilmente dimostrabile per via analitica che fissati nel piano due punti A, B e un reale positivo $ r $, il luogo dei punti P tali che $ AP/BP=r $ è una circonferenza (degenere se $ r=1 $).

Scusate la domanda scema: come si può dimostrare in maniera sintetica? Ci ho provato mezz'ora senza successo

Intanto segnamo i punti che appartengono al luogo cercato e che stanno sulla retta. Cioè, i punti C,D tali che:
$ \displaystyle \frac{AC}{CB} = k $
$ \displaystyle \frac{AD}{DB} = -k $
(quel - vuol dire solo che D non sta tra A e B)
ABCD formano una quaterna armonica, tanto per dire.

Ora possiamo prendere un punto P qualsiasi appartenente al luogo, e applicare fruttuosamente il teorema della bisettrice (che si dimostra sinteticamente, of course):
$ \displaystyle \frac {PA}{PB} = \frac{CA}{CB} $, quindi PC è la bisettrice (interna) dell'angolo $ ~ \angle APB $.
Allo stesso modo $ \displaystyle \frac {PA}{PB} = \frac{DA}{DB} $, quindi PD è la bisettrice (esterna) dell'angolo $ ~ \angle APB $. (sì, il teorema della bisettrice funziona benissimo anche in questo caso)

Concludiamo che
$ ~ \angle APC = \angle CPB $
$ ~ \angle BPD = \angle DPA $ (come angoli orientati,altrimenti prendete qualche brutto supplementare)
Ma:
$ ~ \angle APC + \angle CPB + \angle BPD + \angle DPA = 180° $
Quindi:
$ ~ \angle CPB + \angle BPD = 90° $
Ovvero, P sta sulla circonferenza di diametro CD.

E facciamo gli sboroni, va... questo problema si può risolvere in maniera indegna come segue: troviamo il punto O (quello che edriv chiama C) sul segmento AB che soddisfa la richiesta; dopo di che invertiamo in O con raggio a caso, tipo R.
Dunque, se P stava nel luogo, si ha che
$ \dfrac{PA}{PB}=k $ dunque $ \dfrac{A'P'}{B'P'}=\dfrac{R^2\cdot AP}{OP\cdot OA}\dfrac{OP\cdot OB}{R^2\cdot BP}=\dfrac{AP}{BP}\dfrac{OB}{OA}=1 $
e viceversa, ovviamente. Dunque l'inverso del luogo è l'asse dell'inverso di AB (che è cmq un segmento sulla retta di AB).
Quindi il luogo è una circonferenza per O, che ha tangente in O parallela all'asse di AB . Inoltre, senza fatica si troverà il punto O' (che edriv chiama D) esterno ad AB ma sulla sua retta, per cui passa il luogo, ottenendo una descrizione completa del luogo.

Fissato un punto P, una lunghezza d e un rapporto k, il luogo dei segmenti AB di lunghezza d che realizzano AP/BP=k è una corona circolare. P vede dunque muoversi A (B,C,O) lungo una circonferenza. Cambiando punto di vista, la tesi.

Grazie a tutti.

Temo però di non aver capito la dimostrazione di Elianto... secondo me P vede muoversi A all'interno di una corona circolare (la stessa coperta dal segmento AB), non lungo una circonferenza.

Ok, AB descriverà una corona circolare, i cui bordi (circonferenze) dovranno necessariamente essere descritti dagli estremi dei segmenti mobili.