OliForum Matematico

dimostrare che per ogni terna di interi $ a,b,c $ abbiamo:

$ (a+b)(b+c)(c+a) | (a+b+c)^n -a^n - b^n -c^n $

per ogni $ n $ intero positivo dispari.

Oh, finalmente un bel problema (esteticamente, dico)!

E' abbastanza evidente che al problema non interessa tanto la divisibilità tra interi, ma tra polinomi. Quindi dimostreremo che per n dispari, vale quella divisibilità per polinomi, da cui seguirà quella tra interi.

Ora scusate se non uso un linguaggio olimpicissimo, ma lo faccio per formalizzare un po', e quindi per rischiare di meno di scriver cavolate (neanche vero), ma soprattutto perchè è più figo

Lemma 1. Gli anelli di polinomi $ ~ K[x_1,x_2, \ldots,x_n] $ e $ ~ K[x_1, x_2,\ldots,x_{n-1}][x_n] $ sono isomorfi. L'isomorfismo è abbastanza ovvio. Questo vuol dire che possiamo pensare un polinomio in n variabili su K come un polinomio in una variabile, i cui coefficienti sono polinomi in n-1 variabili su K.

Lemma 2. Sia f l'isomorfismo del lemma 1. Allora, per $ ~ P,Q \in K[x_1,x_2, \ldots, x_n] $ si ha $ ~ P \mid Q \Leftrightarrow f(P) \mid f(Q) $. Anche questo è ovvio, perchè l'isomorfismo ci dice che quelli son praticamente lo stesso campo.

Ora applichiamo questo al problema. Per dimostrare che
$ ~ (a+b) \mid (a+b+c)^n-(a^n+b^n+c^n) $ in Q[a,b,c], basta dimostrare che la divisibilità vale in Q[b,c][a]. Ma grazie a questo, possiamo applicare il teorema di Ruffini! Infatti sappiamo che $ ~ x-k \mid P(x) $ sse P(k) = 0, e basta verificare che per n dispari:
$ ~ (-b+b+c)^n - ((-b)^n +b^n + c^n) = 0 $ (come identità di polinomi in Q[b,c])
Ma questo è ovvio.

Ora, sappiamo finalmente che $ ~ (a+b) \mid (a+b+c)^n-(a^n+b^n+c^n) $. Come concludiamo il problema? L'anello dei polinomi in a,b,c è un'estensione dell'anello dei polinomi simmetrici in a,b,c. Abbiamo un polinomio non simmetrico che divide uno simmetrico.

Ora forse mi complico un po' troppo ma vorrei sapere da simo se questo ragionamento è giusto: dati due anelli A,B, dove B è un'estensione di A, allora se K è un ideale di B, K intersecato ad A è un ideale di A. Facile. Ora gli anelli sono i polinomi simmetrici in a,b,c e i polinomi in a,b,c. L'ideale è quello dei multipli di (a+b). Se F è l'insieme dei multipli di (a+b) simmetrici, allora è un ideale, ma questi sono anelli euclidei quindi è generato da un elemento.
Quindi per concludere il teorema basterebbe dimostrare che (a+b)(b+c)(c+a) non ha fattori simmetrici, che è ovvio per la fattorizzazione unica.

Si vede che sto leggendo l'Herstein?

edit: seicentesima cazzata scritta sul forum!

edriv ha scritto: Ora, sappiamo finalmente che $ ~ (a+b) \mid (a+b+c)^n-(a^n+b^n+c^n) $.

Ma hai davvero solo detto che sostituendo $ a=-b $ nell'espressione di destra abbiamo uno zero e quindi $ (a+b)| \mbox{Robba} $!?!

Se sì, stai male, ragazzo

Ebbene sì, caro Boll

edriv ha scritto: Se F è l'insieme dei multipli di (a+b) simmetrici, allora è un ideale, ma questi sono anelli euclidei quindi è generato da un elemento

Uhm, tu stai parlando di un anello di polinomi ad una sola variabile ma simmetrici in tre variabili. Sei sicuro sia un anello euclideo??

E comunque, parlando di polinomi abbiamo che $ (x+b)| (x +b+c)^n - x^n - b^n -c^n $ quindi abbiamo per la simmetricità di b e c, che $ (x+c)(x+b)| (x +b+c )^n - x^n -b^n -c^n $.

A questo punto facciamo diventare anche $ b $ una variabile (la possiamo chiamare $ y $ e quindi abbiamo sempre $ (x+y)(x+c)| (x + y+c)^n -x^n - y^n -c^n $ e per prima abbiamo che $ y+c $ divide quella robba e quindi la tesi nei polinomi e dunque negli interi (spero sia stato abbastanza chiaro)

Non ho esattamente capito come concludi ... cmq, il ragionamento che hai fatto sul fattore (a+b) si ripete uguale sugli altri due, quindi
$ \textrm{mcm}(a+b,b+c,c+a)\vert (a+b+c)^n-(a^n+b^n+c^n) $
ma i tre fattori sono primi, (hanno grado 1 o 0 in ogni variabile, se dividono un prodotto dividono per forza uno dei fattori) quindi mcm=prodotto.
No?

Ah, per il resto, Euclideo implica pid, ma gli anelli di polinomi in più variabili non son pid neanche a pregarli.

Infine, se nessuno posta una soluzione senza anelli, estensioni e isomorfismi, questo thread finisce in MNE.

Sìsì, mi son accorto che mi ero incasinato esageratamente alla fine...

pid vuol dire ufd? [edit: pid vuol dire principal ideal domain, ok]
Comunque ho imparato qualcosa... i polinomi in più variabili non sono euclidei.

Poi: all'inizio ho parlato di isomorfismo solo per giustificare il fatto che dice Boll, e comunque implicitamente usato da simo, credo (quel "facciamo diventare anche b una variabile"...), quindi la soluzione credo si possa considerare elementare.

Intanto dico la soluzione senza anelli (che comunque non credo siano stati usati perchè si è usato solo ruffini...)

E' risaputo che ogni polinomio simmetrico a coeff interi in $ k $ variabili è esprimibile in modo unico come un polinomio (a coefficienti interi) le cui variabili sono i polinomi simmetrici elementari. Prendiamo il caso k=4.

$ x_1= a+b+c+d $
$ x_2 = ab+bc+cd+da+ac+bd $
$ x_3 = abc+bcd+cda+dab $
$ x_4 = abcd $

Abbiamo in particolare che esiste $ P_n(x_1,x_2,x_3,x_4)= a^n +b^n + c^n +d^n $ per ogni $ n $. Prendiamo il caso n dispari.

Ovviamente ogni monomio che compare a sinistra dovrà avere grado $ n $ (complice il fatto della rappresentazione unica). Ora prendiamo il caso $ x_1=0 $. Avremo $ P_n(x_2,x_3,x_4)=a^n +b^n + c^n +d^n $ e la proprietà dei gradi dei monomi rimane inalterata in quanto abbiamo solo fatto scomparire i monomi in cui compariva anche $ x_1 $. Ora è impossibile che ci sia un monomio in cui non compaia $ x_3 $ infatti i monomi dovranno avere grado dispari ma $ x_2 $ e $ x_4 $ hanno grado pari. Quindi abbiamo $ x_3| a^n + b^n + c^n +d^n $ (nei polinomi) con la condizione che $ x_1=0 $. Sostituendo la condizione ($ d=-a-b-c $) sia a destra che a sinistra otteniamo:

$ abc - (a+b+c)(ab+bc+ca) | a^n +b^n + c^n - (a+b+c)^n $

cioè cambiando di segno entrambi, proprio la tesi...

Spero si capisca, non sono molto bravo a spiegare, ma secondo me c'è una bella ideuzza sotto...