Siano $ \Gamma_1 $ e $ \Gamma_2 $ due circonferenze passanti per i punti $ A $ e $ B $. Preso un punto $ P $ su $ \Gamma_1 $ si considerano i punti
$ M $ ed $ N $ intersezioni di $ \Gamma_2 $ col le rette $ PA $ e $ PB $.
Dimostrare che la lunghezza della corda $ MN $ non dipende dalla scelta di $ P $
Circonferenze secanti
-
marco-daddy
- Messaggi: 75
- Iscritto il: 24 nov 2006, 13:38
- Località: Roma
Circonferenze secanti
Ultima modifica di marco-daddy il 17 apr 2007, 22:44, modificato 1 volta in totale.
Consideriamo tutti gli angoli orientati per non farci troppo male coi casi e prendiamo per simmetria MN su Gamma_1...
$ \angle ANB=x $ è fissato dalla figura perchè dipende dalla corda $ AB $ e da $ \Gamma_1 $. Usando il fatto che $ ANBM $ ciclico avremo $ PMB=x $. Ora $ \angle MPB=y $ è anch'esso fissato perchè dipende da $ AB $ e da$ \Gamma_2 $. Per il teorema dell'angolo esterno $ \angle MBN=x+y $ e quindi è fissato anche $ MN $ usando il teorema della corda (sfruttando solo il raggio di Gamma_1)
$ \angle ANB=x $ è fissato dalla figura perchè dipende dalla corda $ AB $ e da $ \Gamma_1 $. Usando il fatto che $ ANBM $ ciclico avremo $ PMB=x $. Ora $ \angle MPB=y $ è anch'esso fissato perchè dipende da $ AB $ e da$ \Gamma_2 $. Per il teorema dell'angolo esterno $ \angle MBN=x+y $ e quindi è fissato anche $ MN $ usando il teorema della corda (sfruttando solo il raggio di Gamma_1)
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)