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Dimostrare che:

$ $ p\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\dots+\frac{1}{p-2}\right)\equiv 2^{p-1}-1 \pmod {p^2} $

dove $ p $ è un primo naturale

EDIT: Scusate..

ehm, scusa, io sn totalmente ignorante in questi campi...
potresti chiarirmi le caratteristiche di p?
io ho pensato di risolverlo cn l'induzione.. è una buona idea?

Oserei dire che p è un primo... solitamente è così...
Per l'induzione non so, ma a priori non si può escludere nulla!

Boll ha scritto:Dimostrare che:

$ $ p\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\dots+\frac{1}{p-2}\right)\equiv 2^{p-1}-1 \pmod {p^2} $

dove $ p $ è un primo naturale

...dove $ p $, casomai, è un primo naturale $ \ge 3 $ - felice di ritrovarti ancora qui, sciagurato! Dunque, qualche conto e

$ \displaystyle 2^{p-1} - 1 \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p-1}{k} \equiv p \cdot \sum_{k=1}^{p-1} \!\left((-1)^{k-1} \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}\right) \!\!\!\mod p^2 $.

Si è perciò riportati a dimostrare che

$ \displaystyle 1 + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{p-2} \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \!\left((-1)^{k-1} \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}\right) \!\!\!\mod p $.

Ma questo è banale, siccome

$ \displaystyle \sum_{k=1}^{p-1} \!\left((-1)^{k-1} \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}\right) = \sum_{i=1}^{p-1} \!\left(\frac{1}{i} \cdot \sum_{k=i}^{p-1} (-1)^{k-1}\right) = $ $ \displaystyle -\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1}\right) $.

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Dio ha inventato i numeri interi. Tutto il resto è opera dell'uomo. ~ Leopold Kronecker

Una sera, di presso al tramonto, un'anziana signora, incontrata per Caso sui binari di una vecchia stazione in disuso, mi domandò se sapessi dove finisce il Cielo. Sconfitto, felice - risposi non so. Oggi ancora ricordo le sue ultime parole, un attimo prima di partire, quando - con tutta la tenerezza ingenua di una vita - mi rivelò, come a susurrarmi un segreto, che il Cielo finisce nel cuore di Dio. ~ S

Sì ok, primo dispari, anche perchè sennò non aveva molto senso. Perfetta soluzione HiT, ma comprensibile solo a chi l'ha fatto come te... Almeno almeno potevi scrivere 2=(1+1) e sviluppare con Newton...

Boll ha scritto:Almeno almeno potevi scrivere 2=(1+1)

Perdonami, ho dato per certo che fosse già noto.

HiTLeuLeR ha scritto:

Boll ha scritto:Almeno almeno potevi scrivere 2=(1+1)

Perdonami, ho dato per certo che fosse già noto.

Allora si poteva anche scrivere: "La tesi è vera per fatti noti combinati nel giusto modo", non credi? Quindi potremmo sempre scrivere "Sicuramente ciò che dobbiamo dimostrare è vero per una combinazione corretta e ben ordinata di fatti già precedentemente noti". Ma non credo sia molto costruttivo... Tutta l'idea del problema stava proprio nel fatto di sviluppare in Newton (1+1)^(p-1), poi non so come la pensi tu

Io penso che la mia considerazione circa la tua osservazione a proposito dell'1+1 che fa 2 aveva il sapore guasto di un'ironia salace che tu proprio non hai colto.