OliForum Matematico

Sapete come si ricava la divergenza in coordinate polari??

$ \displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r) + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta F_\theta) + \frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}F_\phi $

Per ricavare il gradiente ad esempio si fa uso del teorema del differenziale totale.. come si fa per la divergenza e in genere anche per il rotore?

dal Brasca "tavole matematiche"
sia $ ~(u_1, u_2,u_3) $ un generico sistema di coordinate curvilinee nello spazio euclideo tridimensionale; la metrica sia data dall'espressione $ ~\textrm{d}s^2=h_1\textrm{d}u_1^2+h_2\textrm{d}u_2^2 +h_3\textrm{d}u_3^2 $
siano $ ~\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} $ i versori tangenti alle linee delle coordinate $ ~ u_1, u_2, u_3 $, rispettivamente.
detta $ ~f $una funzione scalare dei punti dello spazio e $ ~\vec{v} $ un vettore funzione del punto, espresso nella forma $ ~\vec{v}=v_1\vec{e_1}+ v_2\vec{e_2}+ v_3\vec{e_3} $, si ottengono le espressioni seguenti
$ $\nabla f=\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial u_1}+\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial u_2}+\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial u_3}$ $
$ $\nabla\cdot \vec{v}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3v_1\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_1h_3v_2\right) +\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1h_2v_3\right)\right]$ $