OliForum Matematico

La somma dei quadrati dei primi n numeri interi è uguale al prodotto righe per colonne della matrice riga deii primi n interi per la matrice colonna invertita dei primi n interi dispari. Provare per credere.
Esempio : la somma dei primi 4 interi al quadrato è 30, ovvero
1x7+2x5+3x3+4x1

Qualcuno sa dimostrare l'assunto?

Lelletto2000

lelletto2000 ha scritto:Provare per credere.

Proverei direttamente questo:

1 = 1²
1+3 = 2²
1+3+5 = 3²
1+3+5+7 = 4²
.
.
.
1+3+5+7+9+...+(2n-1) = n²
________________________

1·n+3·(n-1)+5·(n-2)+7·(n-3)+...+(2i-1)·[n-(i-1)]+...+(2n-1)·1 = $ \sum_{i=1}^n i^2 $.

E comunque si prova facilmente per induzione che $ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $...

Non c'è alcun dubbio, Ponnamperuma
Ma con quelle forme, scritte così, non si
arriva alla semplice proprietà proposta
da Lelletto:
$ \displaystyle \small {\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot 7+2\cdot 5+3\cdot 3+4\cdot 1\endbmatrix} = \begin{bmatrix}30\end{bmatrix}} $

essendo 30 = 1²+2²+3²+4².

Sì, sì, era solo così, per completezza, diciamo... un altro modo di vedere la questione!

Teniamo presenti le notevoli (si dimostrano agilmente per induzione):
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2} $,
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $,
Osserviamo che l'$ i $-esimo elemento della prima matrice è $ i $, e l'$ i $-esimo della seconda matrice è $ 2(n-i)+1 $; il prodotto righe per colonne delle matrici date sarà quindi:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i(2(n-i)+1) = \sum_{i=1}^{n} (2i(n-i)+i) = \sum_{i=1}^{n} 2i(n-i) + \sum_{i=1}^{n}i = $
$ \displaystyle = 2n\sum_{i=1}^{n}i - 2\sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n}i = $
$ \displaystyle = 2n\frac{n(n+1)}{2} - 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = $
$ \displaystyle = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \sum_{i=1}^{n} i^2 $ c.v.d..

Immagino ci sia qualche strada più carina per arrivarci...

Bye,
#Poliwhirl#