OliForum Matematico

Spostato in MNE. Se è elementare questo... --federico

Dimostrare la seguente relazione:
$ \delta \ln(\det M) = tr (M^{-1}\delta M) $
Dove per $ \delta $ si intende una qualsivoglia variazione infinitesima.

BUON DIVERTIMENTO...

nessuno vuole rispondere? beh forse è TROPPO SEMPLICE per voi...
se per caso non lo fosse, vi potrebbe tornare utile questa formuletta:

$ (M^{-1})_{J_{1}}^{\phantom{J_{1}}I_{1}} = \frac{1}{(n-1)!}\varepsilon_{J_{1}\ldots J_{n}}\varepsilon^{I_{1}\ldots I_{n}}M_{I_{2}}^{\phantom{I_{2}}J_{2}}\ldots \, \, M_{I_{n}}^{\phantom{I_{n}}J_{n}}(\det M)^{-1} $

dove $ I_{1},\ldots , I_{n},J_{1}, \ldots , J_{n} $ sono collezioni di $ n $ indici, con $ n $ numero di elementi di una riga (o colonna) della matrice $ M $; inoltre il primo indice di $ M $ è quello di riga, mentre il secondo quello di colonna, $ \varepsilon^{I_{1}\ldots I_{n}} $ è il tensore di Levi-Civita completamente antisimmetrico($ +1 $ per permutazioni pari di $ 1,2,\ldots,n $, $ -1 $ per le permutazioni dispari, nullo se ho almeno due indici ripetuti, e analogo per la versione con gli indici bassi(supponiamo di essere in metrica piatta per semplicità)); ed infine viene utilizzata la convenzione di Einstein per la somma sugli indici ripetuti.
Se vi va potete dimostrare anche questa partendo dalla definizione di determinante$ \bigg( $suggerimento: delle molteplici definizioni equivalenti è consigliabile utilizzare questa: $ \det M = \frac{1}{n!} \varepsilon_{J_{1}\ldots J_{n}}\varepsilon^{I_{1}\ldots I_{n}}M_{I_{1}}^{\phantom{I_{1}}J_{1}}\ldots \, \, M_{I_{n}}^{\phantom{I_{n}}J_{n}}\quad $ , utile anche per il quesito originario... $ \bigg) $ .
Spero di essere stato abbastanza esauriente...

Beh, tieni conto che, a prescindere dalla difficoltà dell'esercizio proposto, questo forum non raccoglie tante persone con conoscenze matematiche avanzate... alias post-liceali... e se anche ce ne sono, non è detto che, giacché accedono a questo forum, siano intenzionate a sciropparsi problemi universitari... magari cercano "solo" di rimettersi alla prova con problemi che li interessavano negli anni passati (vedi club nostalgici!)...
Non ti stupire, in definitiva, se non si ricevono subito risposte a questo genere di quesiti (fermo restando che nessuno è obbligato a rispondere a nulla!)...

Ciao!

Hai perfettamente ragione, ma ho visto un buon numero di altri utenti fare così volentieri sfoggio delle loro grandi conoscenze matematiche (che trascendono abbondantemente il livello liceale) che ho pensato avrebbero gradito divertirsi con qualche problemino un poco più avanzato...

ciò non toglie che non voglio assolutamente obbligare nessuno a rispondere...

A proposito di "sfoggio di grandi conoscenze matematiche", cos'è esattamente una variazione infinitesima?

Ho dato alcune cose per scontato, per non appesantire troppo il testo, ma forse non è stata una scelta felice, e me ne scuso...

Chiaramente $ M $ non può essere costante, se no il quesito perderebbe di significato, diciamo che $ M^{\phantom{I}J}_{I} = M^{\phantom{I}J}_{I}(x)\; , \; \forall I,J=1,\ldots,n \; ; \; x \in \mathcal{X} $ dove $ \mathcal{X} $ è un qualsiasi spazio di Banach. Ora possiamo definire la variazione di $ M $:

$ \delta_{h} \, M^{\phantom{I}J}_{I} = M^{\phantom{I}J}_{I}(x + h) - M^{\phantom{I}J}_{I}(x) \; , \; x+h \in \mathcal{X} $.

Perchè la relazione fra la variazione del logaritmo e la traccia valga bisogna che $ M $ sia differenziabile, ovvero che esista un operatore lineare $ \mathcal{L}(x) $ tale che valga la relazione:

$ \delta_{h} \, M^{\phantom{I}J}_{I} = M^{\phantom{I}J}_{I}(x + h) - M^{\phantom{I}J}_{I}(x) = \mathcal{L}(x)h + O(||h||^{2}) $.
Ora è possibile definire una variazione infinitesima di $ M $ come una variazione $ \delta_{h} $ con $ h $ infinitesimo, ovvero di norma sufficientemente piccola perchè $ O(||h||^{2}) $ sia trascurabile.
Scrivendo che la relazione è valida per una qualsivoglia variazione infinitesima intendo per un qualsivoglia $ h $ infinitesimo, ovviamente tale che $ x+h \in \mathcal{X} $.

ciao jlb!!! volevo chiederti che facoltà frequenti?? (se non 6 gia laureato)