OliForum Matematico

Ciao a tutti!

Non so se la mia è una domanda molto sensata, la posto qui in matematica non elementare perchè non so se ci sia o no una risposta:-)

Allora: per ogni scelta di $ a_1, a_2, b_1, b_2 $ tutti appartenenti ai complessi, vorrei trovare funzioni a valori complessi $ c, d $ tali che $ a_1 b_1 + a_2 b_2 =c(a_1,a_2) d(b_1,b_2) $. E se possibile generalizzare al caso $ a_i, b_i,i=1\dots n $
Non so se tutto ciò sia possibile, anzi secondo me non esistono delle funzioni siffatte (non ci ho pensato troppo in realtà).

Ciao!

Vito

Non si fa. Il trucco per dimostrarlo è usare la legge di annullamento del prodotto e accorgersi che quando il membro di destra fa 0, fa 0 "troppo spesso".
Prendi per esempio $ a_1=a_2=b_1=1 $, $ b_2=-1 $. Il prodotto fa 0, quindi se esistessero le due funzioni dovrebbe essere $ c(1,1)d(1,-1)=0 $, quindi uno dei due fattori è nullo. Ma se il primo fattore è nullo allora $ b_1+b_2=c(1,1)d(b_1,b_2)=0 $ per tutti i valori di $ b_1, b_2 $, cosa che è chiaramente falsa, e se il secondo è nullo allora analogamente si ha $ a_1-a_2=0 $ per tutti i valori di $ a_1,a_2 $.

Ottimo, grazie mille! Una risposta che non lascia adito a dubbi...e vale anche in caratteristica 2 tra l'altro! (e io che speravo in una soluzione sui complessi...)