OliForum Matematico

Questo e` un problemino che nel mio cammin di vita ho incontrato.
Scusate e` il mio primo post dunque non maledicetemi troppo se qualcosa non va.

Quali sono le ultime 3 cifre della somma:
$ 1^{100}+ 2^{100} + 3^{100} + ... +999998^{100}+ 999999^{100} $

Ciau

Finalmente Gennady sul forum!
Riscriviamo il problema aggiungendo 1000000 che viene più semplice e non cambia il risultato: $ \displaystyle \sum_{n=1}^{1000000}n^{100} $
a questo punto diciamo che le ultime tre cifre di $ \displaystyle \sum_{n=1}^{1000}n^{100} $ sono uguali a x.
Le ultime tre cifre di $ \displaystyle \sum_{n=1000}^{2000}n^{100} $ saranno ancora x, poichè determinate dalle ultime tre cifre, che sono uguali in entrambe le somme, di ogni singolo n. Quindi le ultime tre cifre di $ \displaystyle \sum_{n=1}^{1000000}n^{100} $ saranno le ultime tre di 1000x, e cioè banalmente 000.

trovare le ultime tre cifre di un numero equivale a trovare il resto della divisione per 1000. dobbiamo quindi trovare:
$ $ 1^{100}+2^{100}+...+999999^{100} (mod 1000)$ $

che possiamo riscrivere in questo modo:
$ $ 1^{100}+2^{100}+...+999^{100}+1^{100}+2^{100}+...+999^{100}+...(mod 1000)$ $
ripetendo 1000 volte la parte $ $ 1^{100}+2^{100}+...+999^{100}$ $
dato che $ $ 1001 \equiv 1 (mod 1000) $ $, $ $ 1002 \equiv 2 (mod 1000) $ $, eccetera

quindi cerchiamo:
$ $ 1000(1^{100}+2^{100}+...+999^{100})(mod 1000)$ $
che è naturalmente 0

il numero cercato finirà quindi sicuramente almeno con 3 zeri

Scusa non è esattamente quello che ho fatto io?

GennadyUraltsev ha scritto: Quali sono le ultime 3 cifre della somma: $ 1^{100}+ 2^{100} + 3^{100} + ... +999998^{100}+ 999999^{100} $

Se $ s $ è la somma indicata, allora $ \displaystyle s = \sum_{n=0}^{999} \sum_{k = 0}^{999} (1000\cdot n + k)^{100} $, e perciò $ \displaystyle s \equiv 1000 \cdot \sum_{k=0}^{999} k^{100} \equiv 0 \bmod 1000 $.

Tanti modi di dire la stessa cosa, ma ovviamente HitLeuLer è il più elegante

julio14 ha scritto:Tanti modi di dire la stessa cosa, ma ovviamente HitLeuLer è il più elegante

Mi fai arrossire... E pare non sia più bene alla mia età!