OliForum Matematico

Questo e` gia` il mio secondo post sull'Oliforum. Mi sento megapro (scherzo), mi sento in contatto con il flusso di conoscenze nello cyberspazio....... (scherzo bis)
Comunque, per non essere OT, ecco un problema di geometria:

Dati sul piano due punti A e B usando SOLO il compasso (senza il righello) trovare il punto medio del segmento AB.

Notate bene che la geometria e` un campo da me odiato pero` a volte succede di interessarmi anche di problemi di quel tipo....

Per il teorema di Mohr, poiché è possibile determinare il punto medio con riga e compasso, è anche possibile senza compasso!!
So che è un colpo basso, ma...

P.S.: Questa cosa l'ho letta per caso mezz'ora fa!...

Questo è il metodo che ho trovato io:

Sia $ \Gamma_A $ la crf di centro A e raggio AB e $ \Gamma_B $ la crf di centro B e raggio AB.
C è l'intersezione superiore di $ \Gamma_A $ e $ \Gamma_B $ e D quella inferiore, $ \Gamma_C $ è la crf di centro c e raggio CD che interseca $ \Gamma_B $ in E e $ \Gamma_A $ in F (oltre che in D).
$ \Gamma_E $ è la crf ci centro E e raggio EB e G è l'intersezione superiore fra essa e $ \Gamma_B $.
$ \Gamma_G $ è la crf di centro G e raggio GF che interseca $ \Gamma_C $ in H (oltre che in F).
$ \Gamma_H $ è la crf di centro H e raggio HC che interseca $ \Gamma_B $ in I (altre che in C).
$ \Gamma_{CI} $ è la crf di centro C e raggio CI che interseca $ \Gamma_A $ (nell'arco minore di CD) in L.
$ \Gamma_I $ è la crf di centro I e raggio IA che interseca $ \Gamma_{CI} $ (nell'arco minore di IL) in N. $ \Gamma_L $ è la crf di centro L e raggio LB che interseca l'arco minore IL di $ \Gamma_{CI} $ in M.
$ \Gamma_M $ è la crf di centro M e raggio MA e $ \Gamma_N $ è la crf di centro N e raggio NB e chiamiamo O la loro intersezione inferiore.
$ \Gamma_O $ è la crf di centro O e raggio OD e la sua intersezione superiore con $ \Gamma_M $ Q e quella superiore con $ \Gamma_N $ P.
$ \Gamma_P $ è la crf di centro P e raggio PM e $ \Gamma_Q $ è la crf di centro Q e raggio QN e la loro intersezione superiore R.
L'inresezione superiore fra $ \Gamma_Q $ e $ \Gamma_O $ è S mentre quella superiore fra $ \Gamma_P $ e $ \Gamma_O $ è T.
$ \Gamma_T $ è la crf di centro T e raggio TR e $ \Gamma_S $ è la crf di centro S e raggio SR e La loro intersezione inferiore è U che finalmente è il punto medio di AB.

poichè possiamo duplicare un segmento con solo compasso e possiamo trovare l'inverso di un punto rispetto ad una crf. con l'uso del solo compasso... dato che il punto medio di AB è l'inverso rispetto al doppio di AB, posso trovare M prima raddoppiando AB, poi trovandone l'inverso rispetto alla crf. con centro a e raggio AB.

dovix91 ha scritto:poichè possiamo duplicare un segmento con solo compasso e possiamo trovare l'inverso di un punto rispetto ad una crf. con l'uso del solo compasso... dato che il punto medio di AB è l'inverso rispetto al doppio di AB, posso trovare M prima raddoppiando AB, poi trovandone l'inverso rispetto alla crf. con centro a e raggio AB.

Come dici tu, giustamente, tutto il problema subito si riduce a questa punto cioe` a costruire l'inverso di un punto rispetto alla circonferenza usando solo il compasso. Limitandosi a constatare il fatto di questa possibilita` diciamo che si scarta il problema. Io per esempio non riesco a trovare una costruzione geometrica per fare questo. Per avere una soluzione completa e forse piu` generale del problema non potresti far vedre come si fa?

(Questo infatti permettera` ben altre cose che risolvere il problema: tenendo conto che l'inverso di una retta e` una cironferenza si potra riportare il problema di trovare l'intersezione di due rette al trovare l;intersezione fra due circonferenze, il che non richiede piu` la riga. Avendo fatto questo (veramente macherebbe anche l'intersezione retta-circ, pero` credo che si possa fare) si arriva a dire che queste due operazioni che sono le uniche elementari nelle costruzioni geometriche che richiedono la riga sono fattibile solo con il compasso. Cosi` si arriva alla dimostrazione del teorema di Mohr citato prima.)

eccomi!

L'inverso rispetto ad una crf. (di centro O) di un punto P esterno alla crf. si trova ad esempio (come insegnano i signori Courant e Robbins ) in questo modo:
traccio un arco puntando in P con ampiezza OP; questo arco interseca la crf. in due punti, Q e R;
puntando in R con ampiezza OR, traccio un arco (e faccio lo stesso con Q); questi archi si intersecheranno in due punti: O e un punto P'.
Questo punto è l'inverso di P, il che è facile da dimostrare notando la similitudine tra (ad esempio) OP'Q e OQP.
Se il punto P è invece interno alla crf. (il che non è il nostro caso...) il procedimento è un po' più lungo ma comunque semplice come questo.

mi sento in contatto con il flusso di conoscenze nello cyberspazio.......

A volte troppo cyber-punk da alla testa!
Ciao

La soluzione che ho trovato io è un po' diversa da quella di Gabriel:

Punto il compasso in A con apertura AB e traccio la circonferenza α
Punto in B con apertura BA e traccio la circonferenza β
Chiamo i punti di intersezione tra α e β: C e D
Punto in C con apertura CD e traccio la circonferenza γ
Punto in D con apertura DC e traccio la circonferenza δ
Considero uno dei due punti di intersezione delle circonferenze γ e δ e lo chiamo E
Punto il compasso in E con apertura EC e traccio la circonferenza ε
Punto il compasso in B con apertura BE e traccio la circonferenza ζ
Chiamo in punti di intersezione tra ε e ζ: G e H
Punto in G con apertura GE e traccio la circonferenza η
Punto in H con apertura HE e traccio la circonferenza θ
L'altro punto di intersezione tra le circonferenze η e θ oltre ad E risulterà essere il punto medio del segmento AB