OliForum Matematico

dati tre n-agoni convessi siano $ C_1,\ C_2,\ C_3 $ le loro frontiere (bordi), sapendo che $ |C_1\cap C_2|,\ |C_2\cap C_3|,\ |C_1\cap C_3| $ sono finiti, determinare il massimo valore che puo' assumere

$ |C_1\cap C_2\cap C_3| $

Nove.

Si prenda una circonferenza. Poi, con riga, compasso e molta pazienza, dividetela in nove parti uguali. Numeriamo i punti in ordine da 1 a 9. Consideriamo le tre rette passanti per le coppie di punti (1,2), (4,5) e (7,8) e le tre rette tangenti in 3, 6, 9. I punti di intersezione formano un esagono che, per le simmetrie della figura, è equiangolo e pertanto convesso. Inoltre passa per i nove punti. Se ripetete la costruzione due volte, ruotando la figura di 1/9 di giro ogni volta ottenete tre esagoni convessi che si intersecano in nove punti.

Valgono i seguenti fatti: intersezione di poligoni convessi è ancora un poligono convesso. I vertici di un'intersezione di poligoni convessi sono o vertici di uno degli intersecandi, o intersezioni dei bordi di almeno due intersecandi. Le intersezioni di tre intersecandi sono tutte (ma non necessariamente le sole) vertici dell'intersezione.

Supponiamo ora che sia possibile interesecare i bordi in N punti, con N almeno dieci. Per i fatti esposti prima, gli N punti devono essere i vertici di un poligono convesso. Ogni lato degli esagoni non può contenere più di due punti, altrimenti l'intersezione dei bordi contiene necessariamente un pezzo di lato. Ne segue che ogni esagono ha almeno N - 6 lati che contengono due degli N punti di intersezione. Inoltre, i due punti sullo stesso lato devono essere vertici adiacenti del loro inviluppo convesso (altrimenti non è possibile che un esagono convesso passi per tutti gli N punti). Ne segue che i due punti sullo stesso lato possono essere scelti in N modi diversi.

Ma allora i tre esagoni hanno almeno 3N - 18 lati siffatti. Dato che, per la nostra scelta di N, tale numero è maggiore di N, ci sono due esagoni che hanno lati passanti per i medesimi due punti. La loro intersezione contiene infiniti punti. []

Evvai!
Evviva!



Son così contento perchè anche io ho risolto il problema durante la gara, però leggendo male il testo: tu hai aggiunto l'ipotesi n=6, io che i poligoni si intersecassero solo nei loro vertici.
Però nel mio caso l'idea per risolvere il problema sbagliato era la stessa, e questa idea la vedo anche in questa dimostrazione. Quindi non ho dubbi che saprai scrivere la dimostrazione "vera".

p.s.

Dato che, per la nostra scelta di N, tale numero è maggiore di N

Scelto bene! Chiaramente intendevi che è maggiore di 9.

edriv ha scritto:tu hai aggiunto l'ipotesi n=6

Ah, certo... Il problema è che per non farmi sgamare troppo sul lavoro, mi faccio i problemetti a casa, ricostruendo il testo a memoria. Chissà perché mi ricordavo che gli enneagoni dovessero essere esagoni.

Dato che, per la nostra scelta di N, tale numero è maggiore di N

Scelto bene! Chiaramente intendevi che è maggiore di 9.

?? Non ho capito. L'avevo scritto prima:

con N almeno dieci

Intendevo esattamente 3N - 18 > N [versione con l'enneagono: 3N - 3n > N], per applicare il Principio dei Cassetti: ho almeno 3N - 18 lati degli esagoni con doppi punti, che si distribuiscono su N scelte possibili, per dedurre che la stessa coppia di punti sostiene almeno due lati (necessariamente di due esagoni diversi). Se uno sceglie N>9, allora 3N-18 > N è senz'altro vera. I cassetti sono N, non 10. O interpreto male?

No beh, era solo una battuta sull'errore di battitura... un N maggiore di N