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Trovare tutte le soluzioni non banali $ x,y,n\in\mathbb{N} $ di:

$ x^2=y^n-1 $

Buon lavoro!

Per chi non lo avesse notato, e' una generalizzazione di questo

Per il teorema di Mihailescu, le uniche due potenze consecutive sono 9 e 8.

Boll ha scritto:Per il teorema di Mihailescu, le uniche due potenze consecutive sono 9 e 8.

Senonché in questa sezione - da quel che ricordo - è fortemente sconsigliato persino il ricorso al postulato di Bertrand...

Però! Curioso che il signor Mihailescu salti fuori ben due volte in così pochi giorni!
[vedi viewtopic.php?t=8183]

Gia...ed è anche curioso che io l'abbia beccato per caso la mattina prima di postare...

Visto che questo lemma fa parte della dimostrazione del teorema di Mihailescu, che tanto vi affascina, potete anche provare a risolverlo...

Dopotutto e' per quello che lo ho postato..

piever ha scritto:Trovare tutte le soluzioni non banali $ x,y,n\in\mathbb{N} $ di:

$ x^2=y^n-1 $

Da qui:

jordan ha scritto:[...]Modulo 4 vediamo che 2|x, cosicchè nell'anello euclideo $ [tex] $Z[/tex] i termini $ x+i $ e $ x-i $ sono coprimi, i.e. entrambi cubi perfetti. Per cui esistono $ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 $ t.c. $ (a+bi)^3=x+i $. Comparando il termine in $ i $ otteniamo l'unica soluzione $ (a,b)=(0,-1) $ da cui l'unica soluzione in $ (x,y)=(0,1) $.
Problema alternativo, con identica soluzione: Mostrare che 26 è l'unico intero compreso tra un quadrato e un cubo.

Nota aggiunta dopo il link di piever: se $ x^2+1=y^n $ allora $ 2|x $ (infatti assumendo il contrario avremmo $ 4|y^n-2 $, assurdo). Da qui si conclude indenticamente a prima.