OliForum Matematico

Dalla gara a squadre di Cesenatico 2002

In un triangolo isoscele $ \triangle ABC $ l'angolo al vertice A misura 20 gradi. Un segmento congiunge un punto D di AB con C, un altro congiunge un punto E di AC con B e un terzo segmento congiunge D con E. sapendo che gli angoli $ \angle EBA e \angle DCA $ misurano rispettivamente 20 e 30 gradi, quanto vale $ \angle BED $?

$ \displaystyle BC=DB=l $

Per il teorema dei seni: $ \displaystyle AC=l\frac{sen80}{sen20} $, $ \displaystyle BE=l\frac{sen80}{sen40} $ e $ \displaystyle DA= l(\frac{sen80}{sen20}-1) $

$ \displaystyle \frac{AC}{BE}=\frac{sen40}{sen20} $ e inoltre $ \displaystyle \frac{DA}{DB} = \frac{sen80}{sen20}-1 = \frac{sen80-sen20}{sen20}= $$ \displaystyle \frac{2cos50 \cdot sen30}{sen20}= \frac{sen40}{sen20}= \frac{AC}{BE} $

quindi il triangolo BED è simile a ACD per il primo criterio ($ \angle BAE = \angle DBE = 20° $) e quindi $ \angle BED = \angle ACD = 30° $