OliForum Matematico

Un problemino caruccio dal solito stage di Parma... Fra quelli a premi "solo per non ori" è quello che ho trovato più carino...

Definita la successione
$ x_1=2 $
$ nx_n=2(2n-1)x_{n-1} $ per $ n\ge 2 $

Dimostrare che sono tutti interi!

P.S. Non so se venga per induzione, credo di sì, ma c'è la soluzione bellina

Dobbiamo dimostrare che per ogni termine $ n|x_n $
Ovviamente ogni termine è multiplo dei termini precedenti.
Abbiamo quindi che $ x_n|x_{2n-1} $
Poichè $ 2n-1|x_n $ si avrà che $ 2n-1|x_{2n-1} $

Quindi tutti i termini dispari della successione sono interi.

Per i termini pari, dimostriamo x induzione che se xn è multiplo di n allora x(2n) è multiplo di 2n.

Passo base = x1 è multiplo di 1.

Passo induttivo:

$ x_{2n}=2(2n-1)x_{2n-1} $

Per quanto detto prima, $ x_n|x_{2n-1} $
Quindi
$ x_{2n-1}=kx_n $ per un determinato valore di k
Sostituendo avremo:
$ x_{2n}=k(2n-1)2x_n $

Poichè $ x_n $ è multiplo di n avremo che $ x_{2n} $ sarà multiplo di 2n.

Quindi anche i termini pari sono interi.

$ \displaystyle x_n = \frac{2^n \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2n-1)}{n!} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2n-1)}{n!} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (2n)!}{n! \cdot (2 \cdot 1)(2 \cdot 2)(2 \cdot 3)\cdots (2 \cdot n)} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (2n)!}{2^n n! n!} $
$ \displaystyle = \frac{2n!}{n!n!} = {2n \choose n} $
che è per forza intero.