... e ora continuo!
Preliminarmente, pongo per comodità $ \displaystyle\phi=2\arctan\frac{1}{3} $. Dunque, per le formule parametriche, $ \displaystyle\cos\phi=\frac{1-\tan^2\frac{\phi}{2}}{1+\tan^2\frac{\phi}{2}}=\frac{4}{5} $; e $ \displaystyle\sin\phi=\frac{2\tan\frac{\phi}{2}}{1+\tan^2\frac{\phi}{2}}=\frac{3}{5} $. Seguono $ \displaystyle\cos2\phi=1-2\sin^2\phi=\frac{7}{25} $ e $ \displaystyle\sin2\phi=2\sin\phi\cos\phi=\frac{24}{25} $.
Infine, per le formule di addizione e sottrazione, $ \displaystyle\cos\alpha=\cos\frac{\pi}{2}\cos\phi+\sin\frac{\pi}{2}\sin\phi=\sin\frac{\pi}{2}\sin\phi=\sin\phi=\frac{3}{5} $.
Ora, banalmente $ B(0)=5^0\sin(0\cdot\alpha)=0 $ e, sempre per addizione e sottrazione, $ B(1)=5(\sin\frac{\pi}{2}\cos\phi-\cos\frac{\pi}{2}\sin\phi)=5\cos\phi=4 $ (c.v.d.!
).
A questo punto l'espressione da dimostrare è definita $ \forall n\in\mathbb{N}_0 $ .
Essa è equivalente a $ \displaystyle 5^{n+1}\sin[(n+1)\alpha]=6\cdot 5^n\sin(n\alpha)-25\cdot 5^{n-1}\sin[(n-1)\alpha] $.
$ \displaystyle 5^{n+1}(\sin[(n+1)\alpha+\sin[(n-1)\alpha])=6\cdot 5^n\sin(n\alpha) $.
$ \displaystyle 5(\sin[(n+1)\alpha+\sin[(n-1)\alpha])=6\cdot\sin(n\alpha) $.
$ \displaystyle 5(\sin[(n\alpha+\alpha)+\sin[(n\alpha-\alpha)])=6\cdot\sin(n\alpha) $.
$ \displaystyle 5(\sin(n\alpha)\cos\alpha+\cos(n\alpha)\sin\alpha+\sin(n\alpha)\cos\alpha-\cos(n\alpha)\sin\alpha) $$ =6\cdot\sin(n\alpha) $.
$ \displaystyle 10\sin(n\alpha)\cos\alpha=6\sin(n\alpha) $. Ma per quanto trovato sopra $ \cos\alpha=\frac{3}{5} $. L'ultima equazione è dunque un'identità e questo conclude la dimostrazione. $ \Box $
Ciao!
P.S.: Non so se a rigore, siccome per dimostrare l'identità ho diminuito l'indice di n di 1, è necessario far vedere che pure B(2) soddisfa la regola... comunque lo fa (sempre addizione e sottrazione)!
P.P.S.: Isaac888, è $ \LaTeX $, con L,T,X maiuscole, e senza t finale!
