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si sono dette delle cose sugli integrali a proposito delle mie domande sugli stessi, ma leggendo le risposte ho visto che forse la mia domanda era mal posta e ha disorientato coloro che hanno risposto facendomi avere risposte contraddittorie che non chiariscono i miei dubbi
allora
gli integrali a cui mi riferivo erano gli integrali indefiniti: non so usare latex, quindi conveniamo che nella mia scrittura il seguente simbolo in parentesi sia il simbolo di integrale indefinito (§); gli integrali indefiniti, almeno per quello che so io, danno l'iniseme delle primitive della f(x), e l'integrale indefinito di f(x) si scrive §f(x)dx e si legge "integrale indefinito di f(x) in dx"; quello che io non capivo a proposito di questi integrali era se dx fosse il differenziale di x o meno, e se fosse un fattore o meno: facevo questa domanda perchè ragionavo e ragiono così: "l'integrale mi dà le primitive di f(x), quindi si integra la funzione f(x) anche perchè nessuna funzione ha per derivata la propria derivata moltiplicata per un differenziale (dx), quindi dx è un simbolo e basta, ma se è un simbolo allora perchè lo usiamo come se fosse un fattore, perchè se ad esempio faccio §dx allora io integro 1*dx (* sta per segno di prodotto) ma nessuna funzione ha per derivata 1*dx, allo stesso modo quando faccio l'integrazione per sostituzione si esegue la sostituzione g'(t)dt dopo aver posto x=g(t) ma per fare la sostituzione allora sotto il segno di integrale devo considerare dx come fattore e ancora una volta integro il prodotto di una funzione per un integrale, e, ancora, nella dimostrazione fatta dal proff sull'integrazione per parti lui fa l'integrale dei differenziali perchè per spiegare la regola lui parte dal differenziale del prodotto di funzioni, arriva alla relazione d[f(x)g(x)]=f'(x)dx[g(x)] + f(x)g'(x)dx e poi fa l'integrale, per cui ancora una volta io mi trovo a integrare una o più funzioni moltiplicate per un differenziale ma sò che nessuna funzione ha per derivata una derivata in cui figuri il differenziale, e, pertanto, trattando dx come fattore contraddico la stessa definizione di integrale, perchè se l'integrale mi dà le primitive di f(x), se tratto dx come fattore allora l'integrale mi dà le primitive di f(x)*dx ma so che nessuna funzione derivata mi dà una funzione moltiplicata per un differenziale".
dopo le varie risposte chemi sono state date sto dubbio espresso nel mio ragionamento ancora non mi è chiaro, anzi....mo mi domando che centrano gli intervalli infinitesimi e i prodotti dei rettangoli con le primitive???
spero che l'aver spiegato meglio il mio dubbio sugli integrali indefiniti e vi aiuti a darmi un aiuto per chiarirlo
quindi chiedo: "dx è un sibolo o un fattore? se è un simbolo perchè lo si tratta come fattore? se lo si tratta come fattore per motivi di ordine pratico, c'è una qualche teroia in un qualche ramo della matematica che giustifichi questo modo di trattarlo da un punto di vista teorico oltre che formale? se è un fattore come è possibile che la funzione che ottengo con l'integrazione abbia come derivata prima il prodotto di una funzione per un differenziale (perchè se lo tratto come fattore allora integro il prodotto di una funzione per un differenziale)?
grazie e perdonatemi per il disturbo che sto recandovi

Ok, ora è più chiaro, pensavo stessi parlando di integrali DEFINITI. Allora

1) La notazione per l'integrale DEFINITO è suggestiva perché ricorda una somma dell'area di tanti rettangolini infinitesimi.

2) La notazione per l'integrale DEFINITO si può anche interpretare in modo rigoroso, quando si parla di integrali di forme differenziali. Questi sono oggetti che ha senso integrare su percorsi più complicati di un segmento, ad esempio si possono integrare lungo una curva in R^2. Da questo punto di vista f(x) è una funzione, dx è il differenziale della funzione x, ed è dunque una 1-forma, e f(x)dx è il prodotto della funzione f(x) per la 1-forma dx, che è ancora una 1-forma.

3) La notazione per l'integrale INDEFINITO nasce dal teorema fondamentale del calcolo. Questo ti dice che se f è continua su un intervallo e $ x_0 $ è un punto fissato su quest'intervallo, allora la funzione definita da
$ F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t)dt $
è una primitiva di f. La notazione di sopra indica, per ogni x, un integrale DEFINITO. Facendo variare x si ottiene una funzione che è appunto la primitiva. A volte si abbrevia la scrittura di sopra omettendo la x e scrivendo
$ F = \int f $
Quest'ultima scrittura è solo un'abbreviazione per dire che F è una primitiva, e di solito in questa notazione si omette il dx. Questa notazione è coerente con quella di integrale DEFINITO per quanto detto sopra.

4) Anche per le 1-forme ha senso parlare di primitive, ma non sempre esistono. Quando esistono si ottengono in modo simile a quelle delle funzioni, tramite un'integrazione.

Spero che si sia capito qualcosa.
Ciao
Andrea

dunque, da quanto hai detto, concludo che:
1) il motivo della presenza del dx nell'integrale definito è, diciamo così, di carattere storico e nasce dal significato che si dà all'integrale definito.
2) poichè l'integrale indefinito è legato a quello definito dal teorema fondamentale del calcolo, per indicare l'integrale indefinito di una funzione f(x) si usa lo stesso simbolo di integrale privato degli estremi di integrazione e si può mettere o meno il dx
3) sia nell'integrale definito che in quello indefinito il dx può essere preso come un simbolo e quindi quello che si integra (sia in una integrazione definita che indefinita) è la funzione f(x)
4) poichè le 1-forma differenziali sono integrabili e si può per loro parlare di primitive, e i procedimenti per fare queste due operazioni (integrazione "definita" e calcolo delle primitive) portano agli stessi risultati delle integrazioni (definita e indefinita) di funzioni, al dx che c'è nell'integrale definito e nell'integrale indefinito si può dare un significato rigoroso appunto se si considerano queste 1-forma differenziale
5) quando alle volte si considera il dx come fattore negli integrali definiti e indefiniti per potere applicare delle regole (tipo quelle di sostituzione e integrazione per parti) lo si fa per formalismo al fine di dare un senso formale al passaggio meccanico che si fa per applicare le formule
6) quanto si fa al punto 5), alla luce di quanto detto al punto 4) assume oltre che una motivazione di artificio formale anche una motivazione teorica, da ricercarsi semre nelle 1-forma differenziali

sono giuste le mie conclusioni?
grazie ancora

sono giuste, e ricorda che il dx ti è anche utile perchè ti permettere di conoscere la "variabile di integrazione"!!! se ad es hai $ \int ax da =xa^2/2 $, cioè integri a..... non so se mi sono spiegato

pinco ha scritto: 5) quando alle volte si considera il dx come fattore negli integrali definiti e indefiniti per potere applicare delle regole (tipo quelle di sostituzione e integrazione per parti) lo si fa per formalismo al fine di dare un senso formale al passaggio meccanico che si fa per applicare le formule

Più che "dare un senso formale" direi "dare una regoletta mnemonica intuitiva ma non rigorosa".

grazie ragazzi....però mi domando una cosa....perchè tutte ste cose non vengono dette nè nei libri nè dai professori...ovviamente mi riferisco a libri e docenti di quinto liceo (credo che quelli universitari ste cose le dicano, o no??? ).....ci sarebbe una comprensione molto più serena dell'argomento....o sbaglio???

perche' se sei bravo lo intuisci da solo

fur3770 ha scritto:perche' se sei bravo lo intuisci da solo

Curioso, perché ho sempre pensato che, ad esser bravi, si finisse solamente per meritare un otto in condotta sui fogli sciapidi del pagellino...

io quando il proff lo usava come prodotto lo avevo capito che qualche cosa non andava però pensavo che lui fosse il proff e avesse comunque ragione....allora devo ritenermi bravo???!!! - ovviamente scherzo -

dunque, da quanto hai detto, concludo che:
1) il motivo della presenza del dx nell'integrale definito è, diciamo così, di carattere storico e nasce dal significato che si dà all'integrale definito.
2) poichè l'integrale indefinito è legato a quello definito dal teorema fondamentale del calcolo, per indicare l'integrale indefinito di una funzione f(x) si usa lo stesso simbolo di integrale privato degli estremi di integrazione e si può mettere o meno il dx
3) sia nell'integrale definito che in quello indefinito il dx può essere preso come un simbolo e quindi quello che si integra (sia in una integrazione definita che indefinita) è la funzione f(x)
4) poichè le 1-forma differenziali sono integrabili e si può per loro parlare di primitive, e i procedimenti per fare queste due operazioni (integrazione "definita" e calcolo delle primitive) portano agli stessi risultati delle integrazioni (definita e indefinita) di funzioni, al dx che c'è nell'integrale definito e nell'integrale indefinito si può dare un significato rigoroso appunto se si considerano queste 1-forma differenziale
5) quando alle volte si considera il dx come fattore negli integrali definiti e indefiniti per potere applicare delle regole (tipo quelle di sostituzione e integrazione per parti) lo si fa per formalismo al fine di dare un senso formale al passaggio meccanico che si fa per applicare le formule
6) quanto si fa al punto 5), alla luce di quanto detto al punto 4) assume oltre che una motivazione di artificio formale anche una motivazione teorica, da ricercarsi semre nelle 1-forma differenziali

Mai sentito parlare di analisi non standard?