topologia quoziente - puntata2.
Inviato: 15 mag 2007, 18:42
Consideriamo $ X = (-1,1) \times (-1,1) $ sottospazio di $ \mathbb{R}^2 $ e $ A = (-1,1) \times {0} $. Sia $ X/A $ lo spazio quoziente ottenuto collassando $ A $ ad un punto. Determinare un sottospazio $ Y $ di $ \mathbb{R}^2 $ omeomorfo a $ X/A $.
Siano $ C_{1} = { [-1,1] \times [0,1] }, C_{2} = { [-1,1] \times [-1,0] } $ chiusi di $ \mathbb{R}^2 $. Allora $ D_{1} = X \cap C_1 $ e $ D_{2} = X \cap C_2 $ sono chiusi di X per definizione di topologia indotta. Siano inoltre $ B_1 = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + (y-1)^2 < 1 , y \in (0,1) } $, $ B_2 = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + (y+1)^2 < 1 , y \in (-1,0) } $.
Definisco $ f: X \rightarrow B_{1} \cup B_{2} \cup {0} $ come segue a tratti:
$ f_1(x,y) = (x \sqrt{1-(y-1)^2}, y) se (x,y) \in D_1 $
$ f_2(x,y) = (x \sqrt{1-(y+1)^2}, y) se (x,y) \in D_2 $.
Risparmio di scrivere le verifiche di buona definizione continuità, suriettività. Poi $ f_1, f_2 $ coincidono sull'intersezione dei due chiusi $ D_1, D_2 $ quindi si incollano in una funzione continua suriettiva e ben definita.
Inoltre verifico facilmente che
$ f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2) $ se e solo se $ (x_1,y_1) = (x_2,y_2) $ oppure $ (x_1, y_1), (x_2,y_2) \in A. $.
Quindi f induce una $ F : X/A \rightarrow B_1 /cup B_2 \cup {0} $ continua e biunivoca. Domanda: c'è un modo semplice di dimotrare che F è un omeomorfismo? Cioè posso evitare di controllare l'immagine degli aperti di X saturi rispetto a f? In realtà avevo tentato di scrivere la funzione inversa di f, ma ho qualche problema di definizione
Siano $ C_{1} = { [-1,1] \times [0,1] }, C_{2} = { [-1,1] \times [-1,0] } $ chiusi di $ \mathbb{R}^2 $. Allora $ D_{1} = X \cap C_1 $ e $ D_{2} = X \cap C_2 $ sono chiusi di X per definizione di topologia indotta. Siano inoltre $ B_1 = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + (y-1)^2 < 1 , y \in (0,1) } $, $ B_2 = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + (y+1)^2 < 1 , y \in (-1,0) } $.
Definisco $ f: X \rightarrow B_{1} \cup B_{2} \cup {0} $ come segue a tratti:
$ f_1(x,y) = (x \sqrt{1-(y-1)^2}, y) se (x,y) \in D_1 $
$ f_2(x,y) = (x \sqrt{1-(y+1)^2}, y) se (x,y) \in D_2 $.
Risparmio di scrivere le verifiche di buona definizione continuità, suriettività. Poi $ f_1, f_2 $ coincidono sull'intersezione dei due chiusi $ D_1, D_2 $ quindi si incollano in una funzione continua suriettiva e ben definita.
Inoltre verifico facilmente che
$ f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2) $ se e solo se $ (x_1,y_1) = (x_2,y_2) $ oppure $ (x_1, y_1), (x_2,y_2) \in A. $.
Quindi f induce una $ F : X/A \rightarrow B_1 /cup B_2 \cup {0} $ continua e biunivoca. Domanda: c'è un modo semplice di dimotrare che F è un omeomorfismo? Cioè posso evitare di controllare l'immagine degli aperti di X saturi rispetto a f? In realtà avevo tentato di scrivere la funzione inversa di f, ma ho qualche problema di definizione