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Dimostrare che esiste un sottoinsieme denso di $ ~ \mathbb{R}^2 $ che non contiene 3 punti allineati.

$ \{(x,y)|y=x^2\} $ va bene?

No.
Deve essere denso in R^2! : )

E' che libri per licei come il Dodero etc danno definizioni sbagliate di densità. Per quasi tutto il liceo sono rimasto convinto di una definizione errata per colpa di quel libro e della mia prof del biennio.

Un sottoinsieme di R^2 è denso se ogni cerchio non degenere lo interseca.

numeriamo i numeri razionali: $ q_n $.
adesso, scegliamo $ n $ punti per ogni circonferenza di raggio $ q_n $ centrata nell'origine, di modo che siano equidistribuiti sulla circonferenza (ovvero l'angolo tra due consecutivi sia costante, o anche che formano un $ n $-agono equilatero) e, induttivamente, che gli $ n $ punti scelti non stiano su nessuna retta passante per le coppie di punti già fissati.
direi che la condizione sulle rette è abbastanza ovvia per costruzione, mentre la condizione di densità è di facile verifica..

qualche altra costruzione?

Gà che ho fatto la mia pessima figura non sapendo cos'è un insieme denso, può andare il grafico di una soluzione discontinua di f(x+y)=f(x)+f(y)?

f(0) = 0, f(1) = a, f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = a+a = 2a... purtroppo direi che (0,0) (1,a) (2,2a) son anche troppo allineati!

Dimostrare che questo metodo non sempre funziona:
si numerano i punti razionali del piano (i.e. i punti con entrambe le coordinate razionali) e induttivamente si prendono tutti e soli quelli che non sono allineati con i precedenti.

Per questo la mia soluzione è un po' incasinata...
Allora, intanto prendo un'enumerazione dei razionali $ ~ q_n $. Sia $ ~r_n $ la retta per i punti $ ~ (0,q_n), (q_n,0) $, e fisso un'enumerazione dei punti a entrambe le coordinate razionali di $ ~r_n $ per ogni n.

Poi definisco un'enumerazione di tutti i punti del piano a entrambe le coordinate razionali induttivamente in questo modo:
- aggiungo $ ~ (0,q_n), (q_n,0) $
- considero ordinatamente tutte le rette $ ~ r_i \quad (i \le n) $, e per ognuna aggiungo il minimo punto (secondo l'ordinamento definito su quella retta) che è ancora stato aggiunto.

Con l'ordinamento che ho definito, dovrei beccare tutti i punti a entrambe le coordinate razionali (perchè per ognuno passa una retta con coeff. angolare -1, che interseca gli assi in punti razionali, e aggiungo un punto da quella retta infinite volte, quindi prima o poi becco anche quel punto), però col metodo di Mind aggiungo solo quelli della forma (0,q) e (q,0).

Rilancio: dimostrare che esiste un sottoinsieme denso, senza tre punti allineati, e di cartinalità del continuo.

MindFlyer ha scritto:Dimostrare che questo metodo non sempre funziona:
si numerano i punti razionali del piano (i.e. i punti con entrambe le coordinate razionali) e induttivamente si prendono tutti e soli quelli che non sono allineati con i precedenti.

Potrebbe avvenire ad esempio che tutti i punti considerati appartengano a $ \{(x,y)|y>=0\} $

edriv ha scritto:però col metodo di Mind aggiungo solo quelli della forma (0,q) e (q,0).

Non mi pare. Se ho capito bene quello che hai scritto, li aggiungeresti le prime 2 volte, e poi troveresti che sono allineati, e ne metteresti degli altri.

sqrt2 ha scritto:Potrebbe avvenire ad esempio che tutti i punti considerati appartengano a $ \{(x,y)|y>=0\} $

In che modo?

Ok, effettivamente era una cavolata

Proviamo in questo modo: considero un'enumerazione $ ~ q_n $ dei punti a entrambe le coord. razionali che si trovano nel semipiano in basso. Allora faccio così:
- scelgo due punti a caso in alto, in modo che siano allineati con $ ~ q_0 $
- aggiungo $ ~ q_0 $
- prendo una delle rette a coord. razionali passanti per $ ~q_n $ e che non passa per nessuno dei punti già tracciati, prendo due punti su questa retta in modo che non stiano su nessuna delle rette già tracciate, che stiano nel semipiano in alto e che abbiano entrambe le coordinate razionali, aggiungo questi due punti e poi $ ~ q_n $
- ripeto l'ultimo passo per ogni n

Data una numerazione $ a_n=(x_n,y_n) $ dei punti razionali del piano, basta definirne un'altra, $ b_n $, ponendo $ b_0=0, b_{2k+1}=(x_k,|y_k|), b_{2k+2}=(-x_k,-|y_k|) \forall k\in\mathbb{N} $.
Prendendo induttivamente secondo la numerazione $ b_n $ tutti e soli i punti razionali del piano che non sono allineati con i precedenti, si scartano tutti i punti con ordinata negativa.

MindFlyer ha scritto:

sqrt2 ha scritto:Potrebbe avvenire ad esempio che tutti i punti considerati appartengano a $ \{(x,y)|y>=0\} $

In che modo?

Basta che tu parta da un'enumerazione q_n a caso, e poi la sostituisca con la seguente enumerazione. Ricopio l'elenco dei q_n, ma se ne capita uno per cui non è vero che y>=0, prima di aggiungerlo scrivo due punti a e b, con y>=0, che non siano allineati con nessuna coppia dei precedenti e tali che a, b e q_n siano allineati.

Se parti dalla nuova enumerazione e applichi il procedimento che hai descritto, non beccherai mai punti con y<0.

Scusate la doppia negazione, ma il CMS mi cancella tutto ciò che sta tra un segno di minore e uno di maggiore.