OliForum Matematico

Dimostrare, per ogni scelta di $ a,b,c,\geq0 $ numeri reali che
$ a^3+b^3+c^3+6abc\geq \dfrac{1}4(a+b+c)^3 $
e determinare i casi di uguaglianza.

Sconsigliata agli esperti e ai tecnici.

"No ragazzi, non scherziamo".

a meno di granchi mi parrebbe sia un po' sovrabbondante.. cambiamo il 6 abc con un \frac{15}{4}abc..poi facciamoci venire in mente l'idea peggiore S.....

Comunque sempre e solo:
"servi della gleba a testa alta!"

Alla faccia della sovrabbondanza, io provo con quella di EvaristeG!

Innanzitutto, poiché la disuguaglianza è simmetrica, fisso wlog $ a\leq b\leq c $.

Lemma: $ \displaystyle \frac{1}{2}(a^3+b^3)+2abc\geq ab(a+b) $.

Libero dai denominatori $ \rightarrow a^3+b^3+4abc\geq 2ab(a+b) $ e divido per il $ RHS $...
Ottengo $ \displaystyle \frac{a^2-ab+b^2}{2ab}+\frac{2c}{a+b}\geq 1 $.

Ambedue le frazioni sono positive: la seconda per ipotesi, visto che a,b,c sono positivi, la prima solo se lo è il numeratore.
Scrivo $ a^2-ab+b^2\geq 0 \Rightarrow a^2+b^2\geq ab $, vera poiché $ 2QM^2(a,b)\geq GM^2(a,b) $.
Inoltre, già solo $ \frac{2c}{a+b} $ è $ \geq 1 $, visto che $ 2c\geq 2b\geq a+b $, per le ipotesi iniziali. Dunque il lemma è dimostrato (non è vero, vedi al fondo).

Passando al problema originario, sviluppando bovinamente il cubo del trinomio e eliminando i denominatori, si arriva a
$ a^3+b^3+c^3+6abc\geq \sum_{cyc}\left( a^2b+ab^2\right) $, vera per il lemma.

So che è sbagliata, perché dimostro il lemma solo nel caso più facile, negli altri due mi sfugge... ma credo sia giusto, non ho trovato controesempi...
Grazie per le future correzioni e suggerimenti!
Andrea

EDIT: Confermata l'erroneità del ragionamento sopra, di cui tuttavia qualcosa si salva... l'ultima riga!

enomis_costa88 ha scritto:"No ragazzi, non scherziamo".

Proprio per questo è sconsigliata a chi ha esperienza (è facile) e a chi ha tecnica (è lei).

Allora, il lemma non mi sembra reggere granchè, se si cambia l'ordinamento delle variabili: poni c=0 e a=b,ottieni $ a^3\geq2a^3 $ che è palesemente falsa.
Io consiglierei di attaccare direttamente la forma che hai trovato in fondo.

Premesso che non sono per niente un tecnico (lo dimostra la dimostrazione brutta, calcolosa e mal scritta in LaTeX), provo a rispondere…
Moltiplichiamo i due membri della disuguaglianza per 4 e sviluppiamo il cubo del trinomio. Successivamente sommiamo i termini simili. Dividiamo l’espressione per 3 e otteniamo la seguente:
$ a^3+b^3+c^3+6abc-a^2b-ab^2-a^2c-ac^2-b^2c-bc^2\geq0 $
Dopo opportuni raccoglimenti e fattorizzazioni otteniamo:
$ a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)+3abc\geq0 $
L’ultima disuguaglianza è verificata per ogni valore positivo di a, b e c. Difatti, con le condizioni in ipotesi, essa è somma di due quantità positive:
- il prodotto 3abc, sempre maggiore o uguale a zero;
- la restante somma al primo membro, sempre positiva, corrispondente all’espressione della disuguaglianza di Schur nel caso r = 1.
Forse non è il topic giusto per chiederlo, ma dato che l’ho letto qui…cosa significa “wlog”???
(Per quanto riguarda l'uguaglianza entrambi i membri della somma dovrebbero essere nulli, quindi dovrebbe aversi se uno è 0 e gli altri sono uguali,forse...)

wlog=without loss of generality=senza perdere di generalità
La dimostrazione è giusta, anche se, arrivato a quel punto, più che citare Schur (che è evidente già senza raccoglimenti e forse è più conosciuta come cubi+triplo prodtto>= doppi prodotti), potevi direttamente dimostrarla:
Se $ a\ge b\ge c $
c(c-b)(c-a) è non negativa
(a-b)(a(a-c)-b(b-c)) è non negativa
e dunque la somma è non negativa.
Anche i casi di uguaglianza sono giusti.