6m|(3+m)^n+1
Inviato: 21 mag 2007, 22:44
Dall’Hojoo Lee:
Trovare tutti gli interi positivi m,n tali che:
$ 6m|(3+m)^n+1 $
Buon lavoro!
Trovare tutti gli interi positivi m,n tali che:
$ 6m|(3+m)^n+1 $
Buon lavoro!
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6m|(3+m)^n+1
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Inviato: 22 mag 2007, 17:48
qualcuno lo spiega ke è $ | $??!!
Inviato: 22 mag 2007, 17:51
Sì.exodd ha scritto:qualcuno lo spiega ke è $ | $??!!
Inviato: 22 mag 2007, 18:15
Dunquedunque... considerazioni normali sui moduli che sono più conti che altro (e quindi non posto, perchè sono un pelandrone nato 
) ci dicono che
$ n $ è dispari, $ m \equiv 4 \pmod 8 $, e, posto $ m=4d, d \equiv 1 \pmod 2, d \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow d \equiv 5 \pmod 6 $
LEMMA. $ 3^n+1 $ non ha divisori della forma $ 6k+5 $, se n è dispari.
Poniamo infatti $ 3^n=3 \cdot q^2 $, e sia $ p $ un primo che lo divide: otteniamo $ 3q^2 \equiv -1 \Rightarrow (3q)^2 \equiv -3 \pmod p $. Dunque -3 è un residuo quadratico modulo p. Dalla legge di reciprocità quadratica e dalle proprietà di Legendre abbiamo $ (\frac{p}{3})(\frac{3}{p})=(-1)^{(p-1)(3-1)/4 \Rightarrow $$ (\frac{-1}{p})(\frac{-3}{p})(\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow $$ (-1)^{(p-1)/2} \cdot 1 \cdot (\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow (\frac{p}{3})=1 $.
Perciò p è un residuo quadratico modulo 3, e non può essere congruo a 2 mod 3.
Dunque è della forma $ 6k+1 $ (oppure è 2, ok...)
Ne viene che $ d|3^n+1, d \equiv 5 \pmod 6 $, ma $ 3^n+1 $ non ha fattori congrui a 5 modulo 6, assurdo. Dunque non esistono (m,n), o almeno lo spero
Ciao!
) ci dicono che$ n $ è dispari, $ m \equiv 4 \pmod 8 $, e, posto $ m=4d, d \equiv 1 \pmod 2, d \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow d \equiv 5 \pmod 6 $
LEMMA. $ 3^n+1 $ non ha divisori della forma $ 6k+5 $, se n è dispari.
Poniamo infatti $ 3^n=3 \cdot q^2 $, e sia $ p $ un primo che lo divide: otteniamo $ 3q^2 \equiv -1 \Rightarrow (3q)^2 \equiv -3 \pmod p $. Dunque -3 è un residuo quadratico modulo p. Dalla legge di reciprocità quadratica e dalle proprietà di Legendre abbiamo $ (\frac{p}{3})(\frac{3}{p})=(-1)^{(p-1)(3-1)/4 \Rightarrow $$ (\frac{-1}{p})(\frac{-3}{p})(\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow $$ (-1)^{(p-1)/2} \cdot 1 \cdot (\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow (\frac{p}{3})=1 $.
Perciò p è un residuo quadratico modulo 3, e non può essere congruo a 2 mod 3.
Dunque è della forma $ 6k+1 $ (oppure è 2, ok...)
Ne viene che $ d|3^n+1, d \equiv 5 \pmod 6 $, ma $ 3^n+1 $ non ha fattori congrui a 5 modulo 6, assurdo. Dunque non esistono (m,n), o almeno lo spero
Ciao!
Inviato: 22 mag 2007, 18:27
Corretta (bello l'aver usato che -3 e' un residuo quadratico, io mi ci sono impicciato un po' di piu'...)
Piccola osservazione: alla fine bastava usare il lemma di Gauss (che si dimostra moolto piu' facilmente della legge di reciprocita' quadratica...).
Piccola osservazione: alla fine bastava usare il lemma di Gauss (che si dimostra moolto piu' facilmente della legge di reciprocita' quadratica...).