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Sia $ ABC $ un triangolo e siano $ A' \in BC $, $ B' \in AC $ e $ C' \in AB $. Se il baricentro di $ A'B'C' $ coincide con quello di $ ABC $ qual è il minimo di $ Area (A'B'C') / Area (ABC) $ ?

se la mia mente non è diventata fallace in tutti questi anni la risposta dovrebbe riferirsi al caso in cui io ho abc ed a'b'c' entrambi equilateri,posizionati in modo tale da suddividere abc in altri 3 triangoli equilateri uguali tra loro.ergo la risposta dovrebbe essere 1/4.

Oddio, Manlio anche qui!!! AAAAAHH!!!
Scherzo, benvenuto!
Manlio è una vecchia conoscenza di MathLinks.

Step1: G baricentro di ABC, fissiamo C' su AB.
Un'omotetia di centro G e rapporto -1/2 manda C' in F, punto medio di
A'B'. A' giace sia su BC che sulla retta simmetrica ad AC rispetto ad F.
Fissato un vertice del triangolo A'B'C' quest'ultimo è dunque univocamente
determinato.

Step2: Un'affinità conserva i rapporti tra le superfici e i rapporti tra segmenti
staccati sulla medesima retta (mandando dunque baricentri in baricentri).
Segue che, con grande nonchalance, possiamo supporre ABC equilatero
senza perdere di generalità.

Step3: Analizzando la costruzione nello Step1 si evince facilmente che
se ABC è equilatero lo è pure A'B'C' (una rotazione di angolo ^C'GC e centro
in G, seguita da un'omotetia di rapporto C'G/CG, determina a partire da ABC
un triangolo equilatero con un vertice in C' avente il medesimo baricentro di ABC.
Ma per ogni C' c'è un unico A'B'C' possibile!)

Step4: Tra tutti i triangoli equilateri inscritti in un triangolo equilatero di riferimento,
quello mediale ha superficie minima. Oserei dire: grazie al piffero.

Step5 (pleonastico): Rovesciando il punto di vista, il problema è analogo a chiedersi
quale sia la massima superficie di un triangolo "circoscritto" ad un triangolo assegnato.

Temo che non sia troppo dissimile da quella di elianto..
Almeno mi risparmio il "grazie al piffero"

Hum..ho usato nomi diversi per i 3 punti spero sia comprensibile!

allora chiamati P,Q e S i tre punti usando le coordinate affini si scrivono come:

$ P= \lambda_1(A-C)+C $
$ Q= \lambda_2(C-B)+B $
$ S= \lambda_3(B-A)+A $

Inoltre poichè i baricentri sono gli stessi:
$ P+Q+S=A+B+C= $$ \lambda_3(B-A)+A+\lambda_2(C-B)+B+\lambda_1(A-C)+C $

da cui $ \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3 $

Posso inoltre fissare a meno di affinità ABC nell'equilatero:
$ A=(\frac{-\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{2}) $
$ B=(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{2}) $
$ C=(0;1) $

Ora PQS risulterà essere anche esso equilatero e la sua area dipenderà solamente da un lato.
Per minimizzarla è sufficente mimimizzare $ PS^2 $.
Per quanto detto (sostituendo nelle coordinate affini i valori di A,B,C):
$ P=(\lambda(-\frac{\sqrt{3}}{2});\lambda(\frac{-3}{2})+1) $
$ S=(\lambda(\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{2}) $

Da cui dopo due conticini:
$ PS^2=9\lambda^2-9\lambda+3 $ Che è una bella parabola con vertice (e quindi minimo) nel punto $ \lambda=\frac{1}{2} $.

Per questo valore di $ \lambda $ ottengo che PQS è il triangolo dei punti medi e ha area $ \frac{1}{4} $ di quella di ABC.

Uhm, oppure:

A meno di affinita' poniamo: A=(0;0), B=(1;0), C=(0;1) e a questo punto, posto C'=(x;0) otteniamo, con le coordinate affini e sapendo che il baricentro dei due triangoli e' lo stesso, che B'=(0;1-x) e A'=(1-x;x)

L'area di ABC e' $ \frac{1}{2} $, quindi il rapporto tra le due aree e' la doppia area di A'B'C', ovvero, con la shoelace formula:

$ 2[A'B'C']=x^2+(1-x)^2-(1-x)x=3x^2-3x+1 $

Studiando il segno della derivata, che e' $ 6x-3 $, vediamo che la funzione si minimizza per $ x=\frac{1}{2} $ nel qual caso vale $ \frac{1}{4} $ che e' quindi il valore cercato.

EDIT: ops, non avevo visto che c'era anche la soluzione di enomis..

Ok bene tutti... Ma quanto siete analisti...

Io ho fatto come enomis fino a stabilire che $ AC' / AB = BA' / BC = CB' / CA $

A questo punto $ A(A'B'C')= A(ABC) - A(A'B'C) - A(AB'C') - A(A'BC') $. Ma chiamando $ AC'/AB= k $ abbiamo che $ A(AB'C')= A(ABB') \cdot AC'/AB = (A(ABC) \cdot AB' /AC) \cdot k $$ = A(ABC)\cdot (1-k)k $ e similmente le altre.

Quindi $ A(A'B'C')/A(ABC) = 1 - 3k(1-k) \geq^{GM-AM} $$ 1- 3 ( \frac {k + (1-k)}2 )^2 = 1/4 $ con uguaglianza quando $ k=1/2 $ quindi il triangolo mediale.

Rilancio: cosa accade se ABC e A'B'C' non condividono il medesimo baricentro, ma il medesimo ortocentro, o il medesimo circocentro?