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Calcolare il limite

$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\int_0^x sin(t^3)dt}{x^4} $

il risultato che ho ottenuto è giusto (metto in white)

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ma volevo chiedere di formalizzare la risoluzione dell'esercizio, in modo da non commettere imprecisioni.
Grazie

Banalmente De l'Hospital?

Sì, certo! Solo chiedevo come formalizzare la cosa....

Io direi così:

Sia $ \displaystyle f(x) = \int_0^{h(x)} g(t)dt = G[h(x)]- G(0) $.

La derivata sarà allora:

$ \displaystyle f'(x) = G'[h(x)]\cdot h'(x) - 0 = g[h(x)]\cdot h'(x) $.

E l'applicazione al caso particolare mi pare molto più semplice di una dimostrazione partendo da quello. Infatti si ha $ h(x) = x $ e quindi (le ipotesi del teorema di de l'Hôpital sono verificate):

$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin (t^3) dt}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3)}{4x^3} = \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3)}{x^3} = \frac{1}{4} $