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allora, il prof ha dato questo esercizio
sapendo che la funzione f è continua sull'intervallo [a;b], con $ f(a)<f(b) $ e $ f(c)=0 $ con $ c \in [a;b] $, se è
$ \int_{a}^{b}f(x)dx=0 $ e $ \int_{a}^{c}f(x)dx=k $
trovare
$ \int_{a}^{b}|f(x)|dx $.

Io l'ho trovato pure, è -2k, ma per trovarlo ho fatto ricorso a considerazioni geometriche sui trapezoidi sottesi dagli integrali dati: la traccia dice anche che il punto c è l'unico dove la f si annulla, quindi il trapezoide dell'intervallo [a;b] ha una parte nel semipiano delle ordinate negative e una parte nel semipiano delle ordinate positive; essendo a minore di b, il trapezoide cui fa riferimento l'integrale $ \int_{a}^{c}f(x)dx=k $ è quello negativo e il trapezoide cui fa riferimento l'integrale $ \int_{c}^{b}f(x)dx $ è quello positivo; poichè messi assieme fanno 0 allora è $ \int_{c}^{b}f(x)dx=-k $ ove $ k<0 $; la funzione modulo ribalta i rami negativi del grafico della funzione sull'asse x e quindi il trapezoide k diventa -k e messi assieme fanno -2k...il prof però ha detto che va fatto algebricamente...come faccio algebricamente?

nella traccia ho commesso un errore: c appartiene all'intervallo aperto (a;b)
scusate

Solo un chiarimento sul testo del problema: il punto c è l'unico dove la f(x) si annulla (non ho capito se quello che hai scritto in proposito riguarda il testo o la soluzione)?
Nel caso in cui riguardi il testo, allora la soluzione mi sembra abbastanza intuitiva e non troppo complessa....
Se l'integrale da a a b vale 0, significa che l'area "negativa" è equivalente a quella "positiva", ed essendo poi quella negativa di valore k, allora quella positiva vale ovviamente -k (con k<0). Dovendo poi sommare le due aree "positivizzate", ottteniamo quindi -2k.
Non è molto formale ma spero di essere stato chiaro...

Esatto: c è l'unico punto dell'intervallo aperto (a;b) in cui f si annulla....al questa soluzione intuitiva ci ero arrivato anche io, ma il proff ha detto che BISOGNA FORMALIZZARE ALGEBRICAMENTE...boh! suggerimenti?

Ciao!

Beh, se il fatto che c sia l'unico punto di (a,b) in cui la f si annulla è un'ipotesi allora il problema è risolvibile algebricamente: in tal caso necessariamente f(a) è minore o uguale a 0 e f(b) è maggiore o uguale a zero, e non solo: la f è negativa tra a e c (a escluso), ed è positiva tra c e b (b escluso) (per continuità! Se ci fosse un altro punto, diciamo d, tra a e c, con f(d)>0, allora ci sarebbe un punto tra a e d in cui la f si annulla: teorema degli zeri, mi pare si chiami.. assurdo perché c è l'unico punto in cui la f si annulla; analogo per (c;b)).
Poiché l'integrale tra a e b vale 0 e tra a e c vale k, come hai detto tu tra c e b vale -k. Ora per calcolare l'integrale del modulo basta cambiare segno alla f quando essa è negativa, cioè quando ci troviamo in (a,c), e poi integrare. Di conseguenza l'integrale del modulo è esattamente l'opposto dell'integrale della f tra a e c (che è k, quindi l'opposto è -k), e coincide con l'integrale della f tra c e b (che è -k). Sommando, risulta proprio -2k.

Bella la dimostrazione

Solo una precisazione:

Martino ha scritto:[...] allora ci sarebbe un punto tra a e d in cui la f si annulla: teorema degli zeri, mi pare si chiami..

il teorema si chiama teorema dell'esistenza della radice, secondo il quale se una f(x) è continua in un intervallo [a;b] e $ f(a)\cdot f(b)<0 $, allora esiste almeno una radice dell'equazione $ f(x)=0 $ nel medesimo intervallo.