Oggi facendo il giro della stazione di Santa Maria Novella ho scoperto che, se non mi fossi tanto complicato la vita, potevo tranquillamente concludere la mia soluzione.
Bando alle ciancie, ecco qua una:
Lemma 0: $ ~ p^2 \mid \mid (p-1)^p + 1 $.
Dimostrazione: riscrivere come $ ~ p^2\left( p^{p-2} - {p \choose p-1}p^{p-3} + ...+ {p \choose 3}p - {p \choose 2} + 1\right) $ e notare che il secondo fattore è una somma di multipli di p + 1, ed è uguale a 1 sse p=3. Questo dimostra il punto a).
Lemma 1: Dati interi a,b > 2 e reali positivi $ ~ \alpha,\beta $ tali che $ ~ a<b $ e $ \alpha a = \beta b $. Allora $ a^{\alpha} > b^{\beta} $.
Dimostrazione: riscrivere come $ ~ a^{\frac{b \beta}a} > b^{\beta} \Leftrightarrow a^{\frac 1a} > b^{\frac 1b} $ che è vero per la decrescenza della funzione $ ~ x^{\frac 1x} $ per x>e.
Lemma 2: I fattori primi diversi da p di $ ~ (p-1)^p+1 $ sono maggiori di 2p.
Dimostrazione: $ ì (p-1)^p \equiv -1 \pmod q $, quindi l'ordine di (p-1) modulo q è pari e divide 2p, ma non piò essere 2 perchè implica $ ~ p-1 \equiv -1 \pmod q $, quindi l'ordine è 2p e divide q-1.
Passo 3: Scriviamo $ ~ (p-1)^p+1 = p^2q_2^{\alpha_2}\cdots q_{n-1}^{\alpha_{n-1}} q_n^{\alpha_n} $.
Usando ripetutamente il lemma 1 e consci per il lemma 2 che p è il minimo dei primi, vediamo che possiamo cancellare il primo più grande ed aumentare l'esponente di p, ottenendo una formula del tipo $ ~ p^{2 + \alpha}q_2^{\alpha_2}\cdots q_{n-1}^{\alpha_{n-1}} $ tale che $ ~ (2+\alpha)p + \alpha_2 q_2 + \ldots + \alpha_{n-1}q_{n-1} = 2p + \alpha_2 q_2 + \ldots + \alpha_{n-1}q_{n-1} + \alpha_nq_n $ e che $ ~ p^{2 + \alpha}q_2^{\alpha_2}\cdots q_{n-1}^{\alpha_{n-1}} > p^2q_2^{\alpha_2}\cdots q_{n-1}^{\alpha_{n-1}} q_n^{\alpha_n} $.
Cioè, possiamo eliminare il primo più grande e aumentare l'esponente di p in modo che la funzione che vogliamo stimare rimanga costante, e il valore complessivo aumenta.
Applicando ripetutamente, avremo $ ~ p^{\alpha} > (p-1)^p+1 $ e $ ~ \alpha p = 2p + \alpha_2 q_2 + \ldots + \alpha_{n-1}q_{n-1} + \alpha_nq_n $.
Siccome $ ~ p^{\alpha} > (p-1)^p+1 $, qui possiamo fare due stime:
- usare che $ ~ \sqrt{p} <p> \frac{p}2 $
- usare ancora la decrescenza di $ ~ x^{\frac 1x} $ e dimostrare che $ ~ \alpha > p-1 $.
Nel primo caso otteniamo $ ~ 2p + \alpha_2 q_2 + \ldots + \alpha_{n-1}q_{n-1} + \alpha_nq_n=\alpha p >\frac{p^2}2 $, che senz'altro ci basta
Nella seconda stima otteniamo $ ~ \alpha p > p(p-1) $ che non è male.
