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Puoi dirmi se la traduzione è giusta per favore? L'ho fatta "inventando" un po'! Grazie!cerise ha scritto:Peut-on trouver 5 points dans l'espace tels qu'il y en ait toujours 2 dont la distance soit n avec $ n\in \{1,2,...10\} $ ?
Si possono trovare 5 punti nello spazio tali che ce ne siano sempre 2 tra i quali la distanza sia n con $ n\in \{1,2,...10\} $ ?
Le dieci distanze tra due dei cinque punti devono essere tutte distinte.
Prendiamo i due punti con distanza 1 e colleghiamoli agli altri tre. Per la disuguaglianza triangolare la differenza tra i due lati di lunghezza diversa da uno è in modulo un intero maggiore di 0 e minore o uguale a 1, quindi 1.
I cinque punti sono allineati.
Siano A, B, C, D, E nell'ordine. Allora AB + BC + CD + DE = 10 e tali segmenti hanno lunghezze 1, 2, 3, 4. Se l'1 stà di fianco al 2 o al 3 si ha un assurdo, idem se non è vicino ad essi.
I punti più distanti devono avere per forza di cose distanza 10. Per capirci, fissiamo le ascisse in modo che siano i punti 0 e 10. I punti devono avere coordinate intere (altrimenti si trovano distanze non intere). La coppia di punti a distanza 9 deve essere 0-9, o 1-10. Wlog, supponiamo sia 1-10, quindi l'insieme contiene punti 0,1,10.
I punti a distanza 8 possono essere 0-8, oppure 1-9 (impossibile: 9-10 ha distanza 1 che è già presa), oppure 2-10 (impossibile per 1-2 che ha distanza 1). Quindi anche 8 è nell'insieme.
3 non è nell'insieme (1-3 = 8-10); 6 non è (6-8 = 8-10); 5 non è (0-5 = 5-10); 7 non è (7-8 = 0-1); 4 non è (0-4 = 4-8). Quindi l'insieme non può essere costruito. []
), perchè omettere passaggi? 