OliForum Matematico

S è un insieme finito di punti del piano con n elementi.
Dimostrare che esistono al più 2n isometrie che mandano S in se stesso.

Problema molto "naturale", infatti mi è venuto in mente passeggiando per il vialetto vicino al castello di Gradisca

Non è più combinatoria questa?

Mah, isometrie, rotazioni, riflessioni, circonferenze, gruppi, sparando un po' di parole a caso su questo problema mi sembra un po' più geometrico.

Certo è difficile che si faccia con angle chasing.

edriv ha scritto:
Certo è difficile che si faccia con angle chasing.

veramente, a me sembrava di farlo propio cogli angoli...

Cia' e'

Vabeh, intendevo che bisogna almeno pensarci un po' invece che fare conti col teorema dell'angolo esterno e degli angoli alla circonferenza!

Uhm riesumo pure questo gia che ci sono... oggi va così xD
Associo al mio insieme di punti il suo inviluppo convesso che sarà chiaramente un poligono convesso con al più n punti.
Se un'isometria manda l'insieme in se stesso manda anche l'inviluppo convesso in se stesso, quindi manda il poligono in se stesso. In particolare 2 vertici consecutivi vanno in 2 vertici consecutivi quindi la coppia A,B di punti ha AL MASSIMO 2n possibili posti dove andare a finire (scelgo dove va in lato AB e poi scelgo l'orientamento della figura). Poichè fissati dove vanno 2 punti (a meno di simmetrie che però non sono da considerare in questo caso per ovvi motivi: se il poligono sta da una parte non sta dall'altra) è fissata tutta l'isometria e ottengo che esistono al massimo 2n isometrie che mandano la figura in se stessa.
In particolare si ottiene anche che affinchè ne esistano ESATTAMENTE 2n la figura deve avere tutti i lati uguali e gli angoli uguali (affinchè tutte le 2n isometrie definite in precedenza vadano bene)... è perciò un poligono regolare con n lati che è facile vedere che soddisfa.
I casi n=1,2 sono a parte ma sono ovvi.

dario2994 ha scritto:Associo al mio insieme di punti il suo inviluppo convesso che sarà chiaramente un poligono convesso con al più n punti.

inviluppo convesso sarebbe?sarà chiaramente un poligono convesso con al più n punti?qualcuno può spiegarmi...

L'intersezione di tutti i semipiani che contengono l'insieme.
L'intersezione di tutti i poligoni (intesi come parti di piano e non come linee) convessi che contengono l'insieme.
L'intersezione di tutti i sottoinsiemi convessi del piano che contengono l'insieme.
Scegli.

(Dati i punti $ (x_j, y_j) $ per $ j=1,\ldots, n $ è l'insieme
$ K=\displaystyle\left\{\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jx_j, \sum_{j=1}^n\lambda_jy_j\right)\ :\ \sum_{j=1}^n\lambda_j\leq 1,\ \lambda_j\geq 0\ j=1,\ldots, n\right\} $
più chiaro così?)

EvaristeG ha scritto:
(Dati i punti $ (x_j, y_j) $ per $ j=1,\ldots, n $ è l'insieme
$ K=\displaystyle\left\{\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jx_j, \sum_{j=1}^n\lambda_jy_j\right)\ :\ \sum_{j=1}^n\lambda_j\leq 1,\ \lambda_j\geq 0\ j=1,\ldots, n\right\} $
più chiaro così?)

sinceramente non capisco cosa rappresentano quelle sommatorie

uhm cosa vuol dire "cosa rappresentino"? K è l'insieme di tutti i punti le cui coordinate sono esprimibili come somma di coordinate dei punti dati moltiplicate per coefficienti non negativi a somma minore o uguale a uno... Perché? beh, perché sì.